Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-2+x)
-
Límite de x^(-2)
-
Límite de (-4+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (2-sqrt(-3+x))/(-49+x^2)
-
Expresiones idénticas
- pi/(x*cot(pi*x/ dos))
- número pi dividir por (x multiplicar por cotangente de ( número pi multiplicar por x dividir por 2))
- número pi dividir por (x multiplicar por cotangente de ( número pi multiplicar por x dividir por dos))
- pi/(xcot(pix/2))
- pi/xcotpix/2
- pi dividir por (x*cot(pi*x dividir por 2))
-
Expresiones con funciones
- Número Pi pi
- pi/4
- pi*n*x*sin(-3/2+x/2)/(6*cot(a))
- pi/atan(x)
- Piecewise((6-3*x,x<2),(6-2*x^2,True))
- pi^2*x^2*(-2+x)^2/2
- Cotangente cot
- cot(3*x)*tan(2*x)
- cot(2*x)*sin(x)
- cot(5*x)*tan(3*x)
- cot(2*x)*sin(7*x)
- cot(-1+x)/log(1-x)
- Número Pi pi
- pi/4
- pi*n*x*sin(-3/2+x/2)/(6*cot(a))
- pi/atan(x)
- Piecewise((6-3*x,x<2),(6-2*x^2,True))
- pi^2*x^2*(-2+x)^2/2
Límite de la función pi/(x*cot(pi*x/2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ pi \
lim |-----------|
x->0+| /pi*x\|
|x*cot|----||
\ \ 2 //
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Limit(pi/((x*cot((pi*x)/2))), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\pi}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{x}{\pi}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right)}{2 \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right)}{2 \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\pi^{2}}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\pi}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{x}{\pi}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right)}{2 \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right)}{2 \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\pi^{2}}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = \frac{\pi^{2}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = \frac{\pi^{2}}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = \frac{\pi^{2}}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ pi \
lim |-----------|
x->0+| /pi*x\|
|x*cot|----||
\ \ 2 //
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
2 pi --- 2
$$\frac{\pi^{2}}{2}$$
= 4.93480220054468
/ pi \
lim |-----------|
x->0-| /pi*x\|
|x*cot|----||
\ \ 2 //
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
2 pi --- 2
$$\frac{\pi^{2}}{2}$$
= 4.93480220054468
= 4.93480220054468
Gráfico