Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(- 2 x \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{2 \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}\right) \left(- x^{3} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} + x \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(- 2 x \operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{2 \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}\right) \left(- x^{3} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} + x \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}\right)\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)