Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- (- dos +sqrt(cuatro +x))/(x+x^ dos)
- ( menos 2 más raíz cuadrada de (4 más x)) dividir por (x más x al cuadrado )
- ( menos dos más raíz cuadrada de (cuatro más x)) dividir por (x más x en el grado dos)
- (-2+√(4+x))/(x+x^2)
- (-2+sqrt(4+x))/(x+x2)
- -2+sqrt4+x/x+x2
- (-2+sqrt(4+x))/(x+x²)
- (-2+sqrt(4+x))/(x+x en el grado 2)
- -2+sqrt4+x/x+x^2
- (-2+sqrt(4+x)) dividir por (x+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (-2-sqrt(4+x))/(x+x^2)
- (-2+sqrt(4-x))/(x+x^2)
- (-2+sqrt(4+x))/(x-x^2)
- (2+sqrt(4+x))/(x+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2-x)*(-1+x)/(-1+x^2)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2-4*x)
- sqrt(x^2+6*x)-x
- sqrt(3+x^2)-x
- sqrt(-1+x^2)-x
Límite de la función (-2+sqrt(4+x))/(x+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______\
|-2 + \/ 4 + x |
lim |--------------|
x->0+| 2 |
\ x + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right)$$
Limit((-2 + sqrt(4 + x))/(x + x^2), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x + 4} + 2$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x} \left(\sqrt{x + 4} + 2\right)}{\sqrt{x + 4} + 2}$$
=
$$\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x + 4} + 2\right)}$$
=
$$\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x + 4} + 2\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x + 4} + 2\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{4}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x + 4} + 2$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x} \left(\sqrt{x + 4} + 2\right)}{\sqrt{x + 4} + 2}$$
=
$$\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x + 4} + 2\right)}$$
=
$$\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x + 4} + 2\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x + 4} + 2\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 4} - 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} + x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 4} - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 4} \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{4 \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{4 \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 4} - 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} + x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 4} - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 4} \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{4 \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{4 \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ _______\
|-2 + \/ 4 + x |
lim |--------------|
x->0+| 2 |
\ x + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right)$$
1/4
$$\frac{1}{4}$$
= 0.25
/ _______\
|-2 + \/ 4 + x |
lim |--------------|
x->0-| 2 |
\ x + x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right)$$
1/4
$$\frac{1}{4}$$
= 0.25
= 0.25
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right) = \frac{1}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right) = -1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right) = -1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right) = \frac{1}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right) = -1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right) = -1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico