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(pi^(n+1))/(2^(2n))
Suma de la serie/ (pi^(n+1))/(2^(2n))

Suma de la serie (pi^(n+1))/(2^(2n))


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo         
____         
\   `        
 \      n + 1
  \   pi     
   )  -------
  /      2*n 
 /      2    
/___,        
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{n + 1}}{2^{2 n}}$$ 
Sum(pi^(n + 1)/2^(2*n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\pi^{n + 1}}{2^{2 n}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \pi^{n + 1}$$
y
$$x_{0} = -2$$
,
$$d = -2$$
,
$$c = 0$$
entonces
$$\frac{1}{R^{2}} = \tilde{\infty} \left(-2 + \lim_{n \to \infty}\left(\pi^{- n - 2} \pi^{n + 1}\right)\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$\frac{1}{R^{2}} = \tilde{\infty}$$
$$\frac{1}{R^{2}} = \tilde{\infty}$$
$$R = 0$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src] 
     2    
   pi     
----------
  /    pi\
4*|1 - --|
  \    4 /
$$\frac{\pi^{2}}{4 \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)}$$ 
pi^2/(4*(1 - pi/4))
Respuesta numérica [src] 
11.4975768117121575394521856937
11.4975768117121575394521856937
Gráfico
Suma de la serie (pi^(n+1))/(2^(2n))

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