Sr Examen

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sin(1/(2^n))*cos(3/(2^n))

Suma de la serie sin(1/(2^n))*cos(3/(2^n))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                 
____                 
\   `                
 \       /1 \    /3 \
  \   sin|--|*cos|--|
  /      | n|    | n|
 /       \2 /    \2 /
/___,                
n = 1                
$$\sum_{n=1}^{\infty} \sin{\left(\frac{1}{2^{n}} \right)} \cos{\left(\frac{3}{2^{n}} \right)}$$
Sum(sin(1/(2^n))*cos(3/2^n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\sin{\left(\frac{1}{2^{n}} \right)} \cos{\left(\frac{3}{2^{n}} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \sin{\left(2^{- n} \right)} \cos{\left(3 \cdot 2^{- n} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\sin{\left(2^{- n} \right)} \cos{\left(3 \cdot 2^{- n} \right)}}{\sin{\left(2^{- (n + 1)} \right)} \cos{\left(3 \cdot 2^{- n - 1} \right)}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 2$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                     
 ___                     
 \  `                    
  \      /   -n\    / -n\
  /   cos\3*2  /*sin\2  /
 /__,                    
n = 1                    
$$\sum_{n=1}^{\infty} \sin{\left(2^{- n} \right)} \cos{\left(3 \cdot 2^{- n} \right)}$$
Sum(cos(3*2^(-n))*sin(2^(-n)), (n, 1, oo))
Respuesta numérica [src]
0.454648713412840847698009932956
0.454648713412840847698009932956
Gráfico
Suma de la serie sin(1/(2^n))*cos(3/(2^n))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie