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(-1)^(n-1)cos((πn)/2)

Suma de la serie (-1)^(n-1)cos((πn)/2)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                     
 ___                     
 \  `                    
  \       n - 1    /pi*n\
   )  (-1)     *cos|----|
  /                \ 2  /
 /__,                    
n = 1                    
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(-1\right)^{n - 1} \cos{\left(\frac{\pi n}{2} \right)}$$
Sum((-1)^(n - 1)*cos((pi*n)/2), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\left(-1\right)^{n - 1} \cos{\left(\frac{\pi n}{2} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \left(-1\right)^{n - 1} \cos{\left(\frac{\pi n}{2} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\cos{\left(\frac{\pi n}{2} \right)}}{\cos{\left(\pi \left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2}\right) \right)}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\cos{\left(\frac{\pi n}{2} \right)}}{\cos{\left(\pi \left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2}\right) \right)}}}\right|$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                      
 ___                      
 \  `                     
  \       -1 + n    /pi*n\
   )  (-1)      *cos|----|
  /                 \ 2  /
 /__,                     
n = 1                     
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(-1\right)^{n - 1} \cos{\left(\frac{\pi n}{2} \right)}$$
Sum((-1)^(-1 + n)*cos(pi*n/2), (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie (-1)^(n-1)cos((πn)/2)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie