Sr Examen

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(cos^3(3^(n-1)))/(3^n)

Suma de la serie (cos^3(3^(n-1)))/(3^n)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo              
____              
\   `             
 \       3/ n - 1\
  \   cos \3     /
   )  ------------
  /         n     
 /         3      
/___,             
n = 0             
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos^{3}{\left(3^{n - 1} \right)}}{3^{n}}$$
Sum(cos(3^(n - 1))^3/3^n, (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\cos^{3}{\left(3^{n - 1} \right)}}{3^{n}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \cos^{3}{\left(3^{n - 1} \right)}$$
y
$$x_{0} = -3$$
,
$$d = -1$$
,
$$c = 0$$
entonces
$$\frac{1}{R} = \tilde{\infty} \left(-3 + \lim_{n \to \infty}\left(\cos^{2}{\left(3^{n - 1} \right)} \left|{\frac{1}{\cos^{3}{\left(3^{n} \right)}}}\right| \left|{\cos{\left(3^{n - 1} \right)}}\right|\right)\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$\frac{1}{R} = \tilde{\infty} \left(-3 + \lim_{n \to \infty}\left(\cos^{2}{\left(3^{n - 1} \right)} \left|{\frac{1}{\cos^{3}{\left(3^{n} \right)}}}\right| \left|{\cos{\left(3^{n - 1} \right)}}\right|\right)\right)$$
$$R = 0 \left(-3 + \lim_{n \to \infty}\left(\cos^{2}{\left(3^{n - 1} \right)} \left|{\frac{1}{\cos^{3}{\left(3^{n} \right)}}}\right| \left|{\cos{\left(3^{n - 1} \right)}}\right|\right)\right)^{-1}$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                   
 ___                   
 \  `                  
  \    -n    3/ -1 + n\
  /   3  *cos \3      /
 /__,                  
n = 0                  
$$\sum_{n=0}^{\infty} 3^{- n} \cos^{3}{\left(3^{n - 1} \right)}$$
Sum(3^(-n)*cos(3^(-1 + n))^3, (n, 0, oo))
Respuesta numérica [src]
0.762590777449627790875597895371
0.762590777449627790875597895371
Gráfico
Suma de la serie (cos^3(3^(n-1)))/(3^n)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie