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cos(sqrt(n))/n!
Suma de la serie/ cos(sqrt(n))/n!

Suma de la serie cos(sqrt(n))/n!


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo            
____            
\   `           
 \       /  ___\
  \   cos\\/ n /
  /   ----------
 /        n!    
/___,           
n = 1
∑n=1∞cos⁡(n)n!\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos{\left(\sqrt{n} \right)}}{n!} 
Sum(cos(sqrt(n))/factorial(n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
cos⁡(n)n!\frac{\cos{\left(\sqrt{n} \right)}}{n!}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=cos⁡(n)n!a_{n} = \frac{\cos{\left(\sqrt{n} \right)}}{n!}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞∣cos⁡(n)(n+1)!cos⁡(n+1)n!∣1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\cos{\left(\sqrt{n} \right)} \left(n + 1\right)!}{\cos{\left(\sqrt{n + 1} \right)} n!}}\right|
Tomamos como el límite
hallamos
R0=lim⁡n→∞∣cos⁡(n)(n+1)!cos⁡(n+1)n!∣R^{0} = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\cos{\left(\sqrt{n} \right)} \left(n + 1\right)!}{\cos{\left(\sqrt{n + 1} \right)} n!}}\right|
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.50.500.70
Respuesta numérica [src] 
0.567760881088685424494955274256
0.567760881088685424494955274256
Gráfico
Suma de la serie cos(sqrt(n))/n!

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