Sr Examen

Otras calculadoras

(cos(n*pi/3)-1)cos(n*pi)/n^2
Suma de la serie/ (cos(n*pi/3)-1)cos(n*pi)/n^2

Suma de la serie (cos(n*pi/3)-1)cos(n*pi)/n^2


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                            
_____                           
\    `                          
 \     /   /n*pi\    \          
  \    |cos|----| - 1|*cos(n*pi)
   \   \   \ 3  /    /          
   /   -------------------------
  /                 2           
 /                 n            
/____,                          
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\cos{\left(\frac{\pi n}{3} \right)} - 1\right) \cos{\left(\pi n \right)}}{n^{2}}$$ 
Sum(((cos((n*pi)/3) - 1)*cos(n*pi))/n^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(\cos{\left(\frac{\pi n}{3} \right)} - 1\right) \cos{\left(\pi n \right)}}{n^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\left(\cos{\left(\frac{\pi n}{3} \right)} - 1\right) \cos{\left(\pi n \right)}}{n^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} \left|{\frac{\left(\cos{\left(\frac{\pi n}{3} \right)} - 1\right) \cos{\left(\pi n \right)}}{\left(\cos{\left(\pi \left(\frac{n}{3} + \frac{1}{3}\right) \right)} - 1\right) \cos{\left(\pi \left(n + 1\right) \right)}}}\right|}{n^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src] 
  oo                             
_____                            
\    `                           
 \     /        /pi*n\\          
  \    |-1 + cos|----||*cos(pi*n)
   \   \        \ 3  //          
   /   --------------------------
  /                 2            
 /                 n             
/____,                           
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\cos{\left(\frac{\pi n}{3} \right)} - 1\right) \cos{\left(\pi n \right)}}{n^{2}}$$ 
Sum((-1 + cos(pi*n/3))*cos(pi*n)/n^2, (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie (cos(n*pi/3)-1)cos(n*pi)/n^2

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

    © Sr Examen – Калькулятор