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Suma de la serie/ cos(sqrt(n))+i*sin(sqrt(n))/n^2

Suma de la serie cos(sqrt(n))+i*sin(sqrt(n))/n^2


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                             
____                             
\   `                            
 \    /                  /  ___\\
  \   |   /  ___\   I*sin\\/ n /|
   )  |cos\\/ n / + ------------|
  /   |                   2     |
 /    \                  n      /
/___,                            
n = 1
∑n=1∞(cos⁡(n)+isin⁡(n)n2)\sum_{n=1}^{\infty} \left(\cos{\left(\sqrt{n} \right)} + \frac{i \sin{\left(\sqrt{n} \right)}}{n^{2}}\right) 
Sum(cos(sqrt(n)) + (i*sin(sqrt(n)))/n^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
cos⁡(n)+isin⁡(n)n2\cos{\left(\sqrt{n} \right)} + \frac{i \sin{\left(\sqrt{n} \right)}}{n^{2}}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=cos⁡(n)+isin⁡(n)n2a_{n} = \cos{\left(\sqrt{n} \right)} + \frac{i \sin{\left(\sqrt{n} \right)}}{n^{2}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞(cos⁡2(n)+sin⁡2(n)n4cos⁡2(n+1)+sin⁡2(n+1)(n+1)4)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\cos^{2}{\left(\sqrt{n} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{n} \right)}}{n^{4}}}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(\sqrt{n + 1} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{n + 1} \right)}}{\left(n + 1\right)^{4}}}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=lim⁡n→∞(cos⁡2(n)+sin⁡2(n)n4cos⁡2(n+1)+sin⁡2(n+1)(n+1)4)R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\cos^{2}{\left(\sqrt{n} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{n} \right)}}{n^{4}}}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(\sqrt{n + 1} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{n + 1} \right)}}{\left(n + 1\right)^{4}}}}\right)
Respuesta [src] 
  oo                             
____                             
\   `                            
 \    /     /  ___\             \
  \   |I*sin\\/ n /      /  ___\|
   )  |------------ + cos\\/ n /|
  /   |      2                  |
 /    \     n                   /
/___,                            
n = 1
∑n=1∞(cos⁡(n)+isin⁡(n)n2)\sum_{n=1}^{\infty} \left(\cos{\left(\sqrt{n} \right)} + \frac{i \sin{\left(\sqrt{n} \right)}}{n^{2}}\right) 
Sum(i*sin(sqrt(n))/n^2 + cos(sqrt(n)), (n, 1, oo))
Respuesta numérica
La serie diverge

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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