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Suma de la serie/ exp(i*n*a)/n

Suma de la serie exp(i*n*a)/n


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo        
____        
\   `       
 \     I*n*a
  \   e     
  /   ------
 /      n   
/___,       
n = 1
∑n=1∞eainn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{a i n}}{n} 
Sum(exp((i*n)*a)/n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
eainn\frac{e^{a i n}}{n}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=1na_{n} = \frac{1}{n}
y
x0=−ex_{0} = - e
,
d=iad = i a
,
c=0c = 0
entonces
Ria=∞~(−e+lim⁡n→∞(n+1n))R^{i a} = \tilde{\infty} \left(- e + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{n}\right)\right)
Tomamos como el límite
hallamos
Ria=∞~R^{i a} = \tilde{\infty}
R=∞~−iaR = \tilde{\infty}^{- \frac{i}{a}}
Respuesta [src] 
  oo        
____        
\   `       
 \     I*a*n
  \   e     
  /   ------
 /      n   
/___,       
n = 1
∑n=1∞eiann\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{i a n}}{n} 
Sum(exp(i*a*n)/n, (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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