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Suma de la serie/ exp^-(ab(2n+1))

Suma de la serie exp^-(ab(2n+1))


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                 
 ___                 
 \  `                
  \    -a*b*(2*n + 1)
  /   E              
 /__,                
n = 0
∑n=0∞e−ab(2n+1)\sum_{n=0}^{\infty} e^{- a b \left(2 n + 1\right)} 
Sum(E^(-a*b*(2*n + 1)), (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
e−ab(2n+1)e^{- a b \left(2 n + 1\right)}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=e−ab(2n+1)a_{n} = e^{- a b \left(2 n + 1\right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞(e−(2n+1)re⁡(ab)e(2n+3)re⁡(ab))1 = \lim_{n \to \infty}\left(e^{- \left(2 n + 1\right) \operatorname{re}{\left(a b\right)}} e^{\left(2 n + 3\right) \operatorname{re}{\left(a b\right)}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=e2re⁡(ab)R^{0} = e^{2 \operatorname{re}{\left(a b\right)}}
Respuesta [src] 
  oo                 
 ___                 
 \  `                
  \    -a*b*(1 + 2*n)
  /   e              
 /__,                
n = 0
∑n=0∞e−ab(2n+1)\sum_{n=0}^{\infty} e^{- a b \left(2 n + 1\right)} 
Sum(exp(-a*b*(1 + 2*n)), (n, 0, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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