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cos^2*n*pi/n^2

Suma de la serie cos^2*n*pi/n^2



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo            
____            
\   `           
 \       2      
  \   cos (n)*pi
   )  ----------
  /        2    
 /        n     
/___,           
n = 1           
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi \cos^{2}{\left(n \right)}}{n^{2}}$$
Sum((cos(n)^2*pi)/n^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\pi \cos^{2}{\left(n \right)}}{n^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\pi \cos^{2}{\left(n \right)}}{n^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} \cos^{2}{\left(n \right)} \left|{\frac{1}{\cos^{2}{\left(n + 1 \right)}}}\right|}{n^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo            
____            
\   `           
 \          2   
  \   pi*cos (n)
   )  ----------
  /        2    
 /        n     
/___,           
n = 1           
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi \cos^{2}{\left(n \right)}}{n^{2}}$$
Sum(pi*cos(n)^2/n^2, (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie cos^2*n*pi/n^2

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie