Derivada de x*sin((2*x)^2)-ln(1+x)

1. diferenciamos $x \sin{\left(\left(2 x\right)^{2} \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\left(2 x\right)^{2} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \left(2 x\right)^{2}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x\right)^{2}$:

         1. Sustituimos $u = 2 x$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $8 x$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $8 x \cos{\left(\left(2 x\right)^{2} \right)}$

      Como resultado de: $8 x^{2} \cos{\left(\left(2 x\right)^{2} \right)} + \sin{\left(\left(2 x\right)^{2} \right)}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = x + 1$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{x + 1}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{1}{x + 1}$

   Como resultado de: $8 x^{2} \cos{\left(\left(2 x\right)^{2} \right)} + \sin{\left(\left(2 x\right)^{2} \right)} - \frac{1}{x + 1}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(x + 1\right) \left(8 x^{2} \cos{\left(4 x^{2} \right)} + \sin{\left(4 x^{2} \right)}\right) - 1}{x + 1}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 1\right) \left(8 x^{2} \cos{\left(4 x^{2} \right)} + \sin{\left(4 x^{2} \right)}\right) - 1}{x + 1}$