Derivada de (x+sin(x))(cos(2x)-1)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x + \sin{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x + \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $\cos{\left(x \right)} + 1$

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} - 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\cos{\left(2 x \right)} - 1$ miembro por miembro:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

      4. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

      Como resultado de: $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

   Como resultado de: $- 2 \left(x + \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)} + \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)$

2. Simplificamos:

   $- 2 \left(x + \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)} + \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)$

Respuesta:

$- 2 \left(x + \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)} + \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)$