Derivada de y=sin(4x)+sin^3x+ln(2x+1)

1. diferenciamos $\left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(4 x \right)}\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $\sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(4 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Sustituimos $u = 4 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $4 \cos{\left(4 x \right)}$

      4. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

      5. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

      6. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)}$

   2. Sustituimos $u = 2 x + 1$.

   3. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)$:

      1. diferenciamos $2 x + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2}{2 x + 1}$

   Como resultado de: $3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)} + \frac{2}{2 x + 1}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)}\right) + 2}{2 x + 1}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x + 1\right) \left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)}\right) + 2}{2 x + 1}$