Derivada de tan(sqrt(x))

Solución

Ha introducido [src]

   /  ___\
tan\\/ x /

$$\tan{\left(\sqrt{x} \right)}$$

tan(sqrt(x))

Solución detallada

Reescribimos las funciones para diferenciar:

$\tan{\left(\sqrt{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}$
Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$ .
2. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$ .
2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{1}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{1}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

       2/  ___\
1 + tan \\/ x /
---------------
        ___    
    2*\/ x

$$\frac{\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1}{2 \sqrt{x}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                  /              /  ___\\
/       2/  ___\\ |   1     2*tan\\/ x /|
\1 + tan \\/ x //*|- ---- + ------------|
                  |   3/2        x      |
                  \  x                  /
-----------------------------------------
                    4

$$\frac{\left(\frac{2 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)}{4}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                  /            /  ___\     /       2/  ___\\        2/  ___\\
/       2/  ___\\ | 3     6*tan\\/ x /   2*\1 + tan \\/ x //   4*tan \\/ x /|
\1 + tan \\/ x //*|---- - ------------ + ------------------- + -------------|
                  | 5/2         2                 3/2                3/2    |
                  \x           x                 x                  x       /
-----------------------------------------------------------------------------
                                      8

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(- \frac{6 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}\right)}{8}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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Derivada de tan(sqrt(x))

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución