Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = 0,
donde
$$P{\left(x \right)} = - x \log{\left(x \right)}$$
y
y se llama
lineal homogéneaecuación diferencial de 1 orden:Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = - x \log{\left(x \right)}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = \left(- \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}\right) + Const$$
Solución detallada de la integralEs decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}$$