Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin((x+pi)/2)

Gráfico de la función y = sin((x+pi)/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x + pi\
f(x) = sin|------|
          \  2   /
f(x)=sin⁡(x+π2)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x + \pi}{2} \right)} 
f = sin((x + pi)/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x+π2)=0\sin{\left(\frac{x + \pi}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Solución numérica
x1=65.9734457253857x_{1} = 65.9734457253857
x2=−160.221225333079x_{2} = -160.221225333079
x3=−91.106186954104x_{3} = -91.106186954104
x4=−59.6902604182061x_{4} = -59.6902604182061
x5=−21.9911485751286x_{5} = -21.9911485751286
x6=21.9911485751286x_{6} = 21.9911485751286
x7=3.14159265358979x_{7} = 3.14159265358979
x8=−3.14159265358979x_{8} = -3.14159265358979
x9=−15.707963267949x_{9} = -15.707963267949
x10=−53.4070751110265x_{10} = -53.4070751110265
x11=−72.2566310325652x_{11} = -72.2566310325652
x12=84.8230016469244x_{12} = 84.8230016469244
x13=7517042.68028432x_{13} = 7517042.68028432
x14=−65.9734457253857x_{14} = -65.9734457253857
x15=−40.8407044966673x_{15} = -40.8407044966673
x16=9.42477796076938x_{16} = 9.42477796076938
x17=34.5575191894877x_{17} = 34.5575191894877
x18=97.3893722612836x_{18} = 97.3893722612836
x19=53.4070751110265x_{19} = 53.4070751110265
x20=59.6902604182061x_{20} = 59.6902604182061
x21=−28.2743338823081x_{21} = -28.2743338823081
x22=−9591.28237140964x_{22} = -9591.28237140964
x23=91.106186954104x_{23} = 91.106186954104
x24=15.707963267949x_{24} = 15.707963267949
x25=−47.1238898038469x_{25} = -47.1238898038469
x26=72.2566310325652x_{26} = 72.2566310325652
x27=−34.5575191894877x_{27} = -34.5575191894877
x28=−97.3893722612836x_{28} = -97.3893722612836
x29=40.8407044966673x_{29} = 40.8407044966673
x30=−9.42477796076938x_{30} = -9.42477796076938
x31=78.5398163397448x_{31} = 78.5398163397448
x32=−78.5398163397448x_{32} = -78.5398163397448
x33=47.1238898038469x_{33} = 47.1238898038469
x34=28.2743338823081x_{34} = 28.2743338823081
x35=−84.8230016469244x_{35} = -84.8230016469244
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin((x + pi)/2).
sin⁡(π2)\sin{\left(\frac{\pi}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x+π2)2=0\frac{\cos{\left(\frac{x + \pi}{2} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(2*pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2πx_{1} = 2 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[2π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,2π]\left[0, 2 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x+π2)4=0- \frac{\sin{\left(\frac{x + \pi}{2} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,3π]\left[\pi, 3 \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π]∪[3π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(x+π2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{x + \pi}{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(x+π2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{x + \pi}{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin((x + pi)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x+π2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x + \pi}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x+π2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x + \pi}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x+π2)=cos⁡(x2)\sin{\left(\frac{x + \pi}{2} \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
sin⁡(x+π2)=−cos⁡(x2)\sin{\left(\frac{x + \pi}{2} \right)} = - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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