Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 5*sqrt(5*x)^2-x*log(cos(x)+e^x)-atan(2*x)

Gráfico de la función y = 5*sqrt(5*x)^2-x*log(cos(x)+e^x)-atan(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                2                                 
           _____         /          x\            
f(x) = 5*\/ 5*x   - x*log\cos(x) + E / - atan(2*x)
f(x)=(−xlog⁡(ex+cos⁡(x))+5(5x)2)−atan⁡(2x)f{\left(x \right)} = \left(- x \log{\left(e^{x} + \cos{\left(x \right)} \right)} + 5 \left(\sqrt{5 x}\right)^{2}\right) - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} 
f = -x*log(E^x + cos(x)) + 5*(sqrt(5*x))^2 - atan(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−xlog⁡(ex+cos⁡(x))+5(5x)2)−atan⁡(2x)=0\left(- x \log{\left(e^{x} + \cos{\left(x \right)} \right)} + 5 \left(\sqrt{5 x}\right)^{2}\right) - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=24.9378153571514x_{1} = 24.9378153571514
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 5*(sqrt(5*x))^2 - x*log(cos(x) + E^x) - atan(2*x).
(5(0⋅5)2−0log⁡(cos⁡(0)+e0))−atan⁡(0⋅2)\left(5 \left(\sqrt{0 \cdot 5}\right)^{2} - 0 \log{\left(\cos{\left(0 \right)} + e^{0} \right)}\right) - \operatorname{atan}{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x(ex−sin⁡(x))ex+cos⁡(x)−log⁡(ex+cos⁡(x))+25−24x2+1=0- \frac{x \left(e^{x} - \sin{\left(x \right)}\right)}{e^{x} + \cos{\left(x \right)}} - \log{\left(e^{x} + \cos{\left(x \right)} \right)} + 25 - \frac{2}{4 x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−37.102684914573x_{1} = -37.102684914573
x2=−24.3264035616092x_{2} = -24.3264035616092
x3=−11.4104670579631x_{3} = -11.4104670579631
x4=−68.7655405702158x_{4} = -68.7655405702158
x5=−56.1282878539138x_{5} = -56.1282878539138
x6=−30.7279295021426x_{6} = -30.7279295021426
x7=−93.9874663956989x_{7} = -93.9874663956989
x8=−43.4577711369575x_{8} = -43.4577711369575
x9=−62.4500416693712x_{9} = -62.4500416693712
x10=−100.286375089547x_{10} = -100.286375089547
x11=−81.3828619382512x_{11} = -81.3828619382512
x12=12.4984219789943x_{12} = 12.4984219789943
x13=−17.8895225174765x_{13} = -17.8895225174765
x14=−49.7984046562626x_{14} = -49.7984046562626
x15=−87.6864437492693x_{15} = -87.6864437492693
x16=−75.0761456735228x_{16} = -75.0761456735228
Signos de extremos en los puntos:
(-37.102684914573004, -933.041875770398)

(-24.326403561609155, -615.560933761031)

(-11.410467057963112, -294.101805019137)

(-68.76554057021583, -1721.86319300376)

(-56.12828785391377, -1406.75813090054)

(-30.727929502142565, -774.574532437321)

(-93.98746639569895, -2351.34224623979)

(-43.4577711369575, -1091.15928748592)

(-62.45004166937121, -1564.35533065155)

(-100.28637508954708, -2508.62373764561)

(-81.38286193825124, -2036.68893026331)

(12.498421978994271, 154.719138369312)

(-17.889522517476475, -455.641965268277)

(-49.798404656262555, -1249.04123233782)

(-87.6864437492693, -2194.03271334288)

(-75.07614567352276, -1879.30273526885)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x16=−37.102684914573x_{16} = -37.102684914573
x16=−24.3264035616092x_{16} = -24.3264035616092
x16=−11.4104670579631x_{16} = -11.4104670579631
x16=−68.7655405702158x_{16} = -68.7655405702158
x16=−56.1282878539138x_{16} = -56.1282878539138
x16=−30.7279295021426x_{16} = -30.7279295021426
x16=−93.9874663956989x_{16} = -93.9874663956989
x16=−43.4577711369575x_{16} = -43.4577711369575
x16=−62.4500416693712x_{16} = -62.4500416693712
x16=−100.286375089547x_{16} = -100.286375089547
x16=−81.3828619382512x_{16} = -81.3828619382512
x16=12.4984219789943x_{16} = 12.4984219789943
x16=−17.8895225174765x_{16} = -17.8895225174765
x16=−49.7984046562626x_{16} = -49.7984046562626
x16=−87.6864437492693x_{16} = -87.6864437492693
x16=−75.0761456735228x_{16} = -75.0761456735228
Decrece en los intervalos
(−∞,−100.286375089547]\left(-\infty, -100.286375089547\right]
Crece en los intervalos
[12.4984219789943,∞)\left[12.4984219789943, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(ex−sin⁡(x))2(ex+cos⁡(x))2−x(ex−cos⁡(x))ex+cos⁡(x)+16x(4x2+1)2−2(ex−sin⁡(x))ex+cos⁡(x)=0\frac{x \left(e^{x} - \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(e^{x} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} - \frac{x \left(e^{x} - \cos{\left(x \right)}\right)}{e^{x} + \cos{\left(x \right)}} + \frac{16 x}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(e^{x} - \sin{\left(x \right)}\right)}{e^{x} + \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.0618028105485069x_{1} = 0.0618028105485069
x2=0.0618028105485069x_{2} = 0.0618028105485069
x3=0.737857690692234x_{3} = 0.737857690692234

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0.0618028105485069,0.737857690692234]\left[0.0618028105485069, 0.737857690692234\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,0.0618028105485069]\left(-\infty, 0.0618028105485069\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−xlog⁡(ex+cos⁡(x))+5(5x)2)−atan⁡(2x))=−∞(25−log⁡(⟨−1,1⟩))\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x \log{\left(e^{x} + \cos{\left(x \right)} \right)} + 5 \left(\sqrt{5 x}\right)^{2}\right) - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\right) = - \infty \left(25 - \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}\right)
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−∞(25−log⁡(⟨−1,1⟩))y = - \infty \left(25 - \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}\right)
lim⁡x→∞((−xlog⁡(ex+cos⁡(x))+5(5x)2)−atan⁡(2x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x \log{\left(e^{x} + \cos{\left(x \right)} \right)} + 5 \left(\sqrt{5 x}\right)^{2}\right) - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 5*(sqrt(5*x))^2 - x*log(cos(x) + E^x) - atan(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−xlog⁡(ex+cos⁡(x))+5(5x)2)−atan⁡(2x)x)=25\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x \log{\left(e^{x} + \cos{\left(x \right)} \right)} + 5 \left(\sqrt{5 x}\right)^{2}\right) - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 25
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=25xy = 25 x
lim⁡x→∞((−xlog⁡(ex+cos⁡(x))+5(5x)2)−atan⁡(2x)x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x \log{\left(e^{x} + \cos{\left(x \right)} \right)} + 5 \left(\sqrt{5 x}\right)^{2}\right) - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−xlog⁡(ex+cos⁡(x))+5(5x)2)−atan⁡(2x)=xlog⁡(cos⁡(x)+e−x)−25x+atan⁡(2x)\left(- x \log{\left(e^{x} + \cos{\left(x \right)} \right)} + 5 \left(\sqrt{5 x}\right)^{2}\right) - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} = x \log{\left(\cos{\left(x \right)} + e^{- x} \right)} - 25 x + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}
- No
(−xlog⁡(ex+cos⁡(x))+5(5x)2)−atan⁡(2x)=−xlog⁡(cos⁡(x)+e−x)+25x−atan⁡(2x)\left(- x \log{\left(e^{x} + \cos{\left(x \right)} \right)} + 5 \left(\sqrt{5 x}\right)^{2}\right) - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} = - x \log{\left(\cos{\left(x \right)} + e^{- x} \right)} + 25 x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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