Sr Examen

Otras calculadoras

1-cos(2*x-4*pi/3)
Trazado el gráfico de la función/ 1-cos(2*x-4*pi/3)

Gráfico de la función y = 1-cos(2*x-4*pi/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              /      4*pi\
f(x) = 1 - cos|2*x - ----|
              \       3  /
f(x)=1−cos⁡(2x−4π3)f{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(2 x - \frac{4 \pi}{3} \right)} 
f = 1 - cos(2*x - 4*pi/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−cos⁡(2x−4π3)=01 - \cos{\left(2 x - \frac{4 \pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=2π3x_{2} = \frac{2 \pi}{3}
Solución numérica
x1=46.0766919422696x_{1} = 46.0766919422696
x2=−16.7551609176826x_{2} = -16.7551609176826
x3=86.9173966133072x_{3} = 86.9173966133072
x4=−23.0383461173403x_{4} = -23.0383461173403
x5=−67.0206435259362x_{5} = -67.0206435259362
x6=8.3775803324504x_{6} = 8.3775803324504
x7=−98.4365695918018x_{7} = -98.4365695918018
x8=52.3598774920595x_{8} = 52.3598774920595
x9=5.23598800666376x_{9} = 5.23598800666376
x10=42.935099529436x_{10} = 42.935099529436
x11=−13.6135682472487x_{11} = -13.6135682472487
x12=64.9262479247718x_{12} = 64.9262479247718
x13=93.2005818993975x_{13} = 93.2005818993975
x14=−89.0117921005483x_{14} = -89.0117921005483
x15=−32.4631238594882x_{15} = -32.4631238594882
x16=20.943950773996x_{16} = 20.943950773996
x17=−63.8790502287x_{17} = -63.8790502287
x18=1208.46597400842x_{18} = 1208.46597400842
x19=5.23598764360493x_{19} = 5.23598764360493
x20=−92.1533843948345x_{20} = -92.1533843948345
x21=−76.445421014295x_{21} = -76.445421014295
x22=−89.0117917833873x_{22} = -89.0117917833873
x23=−79.5870139859625x_{23} = -79.5870139859625
x24=−45.0294949511693x_{24} = -45.0294949511693
x25=−10.4719758657697x_{25} = -10.4719758657697
x26=−85.8701990270923x_{26} = -85.8701990270923
x27=−10.4719752821901x_{27} = -10.4719752821901
x28=−23.0383463762544x_{28} = -23.0383463762544
x29=−16.7551605671492x_{29} = -16.7551605671492
x30=90.0589892610266x_{30} = 90.0589892610266
x31=11.5191732950364x_{31} = 11.5191732950364
x32=−35.6047168268821x_{32} = -35.6047168268821
x33=20.9439509830371x_{33} = 20.9439509830371
x34=55.5014704492705x_{34} = 55.5014704492705
x35=−38.7463091411329x_{35} = -38.7463091411329
x36=−82.7286062895824x_{36} = -82.7286062895824
x37=64.9262480729538x_{37} = 64.9262480729538
x38=27.2271362060587x_{38} = 27.2271362060587
x39=42.9350993493207x_{39} = 42.9350993493207
x40=39.793507081887x_{40} = 39.793507081887
x41=68.0678406238317x_{41} = 68.0678406238317
x42=71.2094337269916x_{42} = 71.2094337269916
x43=27.2271365802977x_{43} = 27.2271365802977
x44=17.8023585026368x_{44} = 17.8023585026368
x45=−82.7286065932636x_{45} = -82.7286065932636
x46=−19.8967533997196x_{46} = -19.8967533997196
x47=77.4926190262757x_{47} = 77.4926190262757
x48=83.7758042401686x_{48} = 83.7758042401686
x49=−41.8879016078273x_{49} = -41.8879016078273
x50=−95.2949773686894x_{50} = -95.2949773686894
x51=−57.5958654064525x_{51} = -57.5958654064525
x52=−70.1622358151638x_{52} = -70.1622358151638
x53=−38.746309477683x_{53} = -38.746309477683
x54=−26.1799386560962x_{54} = -26.1799386560962
x55=−45.0294946708353x_{55} = -45.0294946708353
x56=42.9350993385418x_{56} = 42.9350993385418
x57=58.6430626766196x_{57} = 58.6430626766196
x58=24.0855443607728x_{58} = 24.0855443607728
x59=−19.8967526891948x_{59} = -19.8967526891948
x60=−29.3215316353504x_{60} = -29.3215316353504
x61=−51.3126802131926x_{61} = -51.3126802131926
x62=−48.1710872355861x_{62} = -48.1710872355861
x63=30.3687289122185x_{63} = 30.3687289122185
x64=−1.04719756597236x_{64} = -1.04719756597236
x65=−1.04719780119744x_{65} = -1.04719780119744
x66=−4.18879007668989x_{66} = -4.18879007668989
x67=−60.7374577152796x_{67} = -60.7374577152796
x68=93.2005823000309x_{68} = 93.2005823000309
x69=14.6607655205163x_{69} = 14.6607655205163
x70=−73.3038287909726x_{70} = -73.3038287909726
x71=80.6342112547578x_{71} = 80.6342112547578
x72=99.4837676032046x_{72} = 99.4837676032046
x73=−60.7374580362607x_{73} = -60.7374580362607
x74=36.6519140985388x_{74} = 36.6519140985388
x75=−54.4542724368569x_{75} = -54.4542724368569
x76=74.3510260719779x_{76} = 74.3510260719779
x77=96.342174651979x_{77} = 96.342174651979
x78=33.5103218721904x_{78} = 33.5103218721904
x79=11.5191730025415x_{79} = 11.5191730025415
x80=71.2094333340459x_{80} = 71.2094333340459
x81=33.5103212825345x_{81} = 33.5103212825345
x82=86.9173965003448x_{82} = 86.9173965003448
x83=61.7846556610635x_{83} = 61.7846556610635
x84=49.2182851537437x_{84} = 49.2182851537437
x85=−7.33038305744713x_{85} = -7.33038305744713
x86=49.2182847695711x_{86} = 49.2182847695711
x87=−67.0206432262474x_{87} = -67.0206432262474
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 - cos(2*x - 4*pi/3).
1−cos⁡(−4π3+0⋅2)1 - \cos{\left(- \frac{4 \pi}{3} + 0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=32f{\left(0 \right)} = \frac{3}{2}
Punto:
(0, 3/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(2x−4π3)=02 \sin{\left(2 x - \frac{4 \pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=2π3x_{2} = \frac{2 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
 pi         /pi   4*pi\ 
(--, 1 - cos|-- - ----|)
 6          \3     3  / 

 2*pi         /pi   4*pi\ 
(----, 1 + cos|-- - ----|)
  3           \3     3  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,π6]∪[2π3,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π6,2π3]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4cos⁡(2(x−2π3))=04 \cos{\left(2 \left(x - \frac{2 \pi}{3}\right) \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π12x_{1} = - \frac{\pi}{12}
x2=5π12x_{2} = \frac{5 \pi}{12}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π12]∪[5π12,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{12}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π12,5π12]\left[- \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(2x−4π3))=⟨0,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(1 - \cos{\left(2 x - \frac{4 \pi}{3} \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(1−cos⁡(2x−4π3))=⟨0,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(1 - \cos{\left(2 x - \frac{4 \pi}{3} \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - cos(2*x - 4*pi/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(2x−4π3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x - \frac{4 \pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1−cos⁡(2x−4π3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x - \frac{4 \pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1−cos⁡(2x−4π3)=1−cos⁡(2x+4π3)1 - \cos{\left(2 x - \frac{4 \pi}{3} \right)} = 1 - \cos{\left(2 x + \frac{4 \pi}{3} \right)}
- No
1−cos⁡(2x−4π3)=cos⁡(2x+4π3)−11 - \cos{\left(2 x - \frac{4 \pi}{3} \right)} = \cos{\left(2 x + \frac{4 \pi}{3} \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 1-cos(2*x-4*pi/3)
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