Sr Examen

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Gráfico de la función y = (1)/(sin^(2)x)+(1)/(cos^(2)x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          1         1   
f(x) = ------- + -------
          2         2   
       sin (x)   cos (x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
f = 1/(cos(x)^2) + 1/(sin(x)^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.5707963267949$$
$$x_{3} = 3.14159265358979$$
$$x_{4} = 4.71238898038469$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(sin(x)^2) + 1/(cos(x)^2).
$$\frac{1}{\sin^{2}{\left(0 \right)}} + \frac{1}{\cos^{2}{\left(0 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 4)
  4      

 pi    
(--, 4)
 4     


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.5707963267949$$
$$x_{3} = 3.14159265358979$$
$$x_{4} = 4.71238898038469$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(sin(x)^2) + 1/(cos(x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
- Sí
$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
- No
es decir, función
es
par