Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (1)/(sin^(2)x)+(1)/(cos^(2)x)

Gráfico de la función y = (1)/(sin^(2)x)+(1)/(cos^(2)x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          1         1   
f(x) = ------- + -------
          2         2   
       sin (x)   cos (x)
f(x)=1cos⁡2(x)+1sin⁡2(x)f{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} 
f = 1/(cos(x)^2) + 1/(sin(x)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1.5707963267949x_{2} = 1.5707963267949
x3=3.14159265358979x_{3} = 3.14159265358979
x4=4.71238898038469x_{4} = 4.71238898038469
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1cos⁡2(x)+1sin⁡2(x)=0\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(sin(x)^2) + 1/(cos(x)^2).
1sin⁡2(0)+1cos⁡2(0)\frac{1}{\sin^{2}{\left(0 \right)}} + \frac{1}{\cos^{2}{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡2(x)−2cos⁡(x)sin⁡(x)sin⁡2(x)=0\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 4)
  4      

 pi    
(--, 4)
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1.5707963267949x_{2} = 1.5707963267949
x3=3.14159265358979x_{3} = 3.14159265358979
x4=4.71238898038469x_{4} = 4.71238898038469
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(1cos⁡2(x)+1sin⁡2(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(1cos⁡2(x)+1sin⁡2(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(sin(x)^2) + 1/(cos(x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(1cos⁡2(x)+1sin⁡2(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(1cos⁡2(x)+1sin⁡2(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1cos⁡2(x)+1sin⁡2(x)=1cos⁡2(x)+1sin⁡2(x)\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}
- Sí
1cos⁡2(x)+1sin⁡2(x)=−1cos⁡2(x)−1sin⁡2(x)\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
es
par
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