Sr Examen

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Gráfico de la función y = ((-4)*((sin^2*(2*x))+cos^2*(2*x)))/((sin^2*(2*x))*ln*(3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          /   2           2     \
       -4*\sin (2*x) + cos (2*x)/
f(x) = --------------------------
               2                 
            sin (2*x)*log(3)     
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) 4 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}$$
f = (-4*(sin(2*x)^2 + cos(2*x)^2))/((log(3)*sin(2*x)^2))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.5707963267949$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(-1\right) 4 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-4*(sin(2*x)^2 + cos(2*x)^2))/((sin(2*x)^2*log(3))).
$$\frac{\left(-1\right) 4 \left(\sin^{2}{\left(0 \cdot 2 \right)} + \cos^{2}{\left(0 \cdot 2 \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(0 \cdot 2 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{16 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}}{\log{\left(3 \right)} \sin^{3}{\left(2 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
 -pi    -4    
(----, ------)
  4    log(3) 

 pi   -4    
(--, ------)
 4   log(3) 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{32 \left(1 + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right) \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.5707963267949$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) 4 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) 4 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-4*(sin(2*x)^2 + cos(2*x)^2))/((sin(2*x)^2*log(3))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{4 \frac{1}{\log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{x}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(- \frac{4 \frac{1}{\log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(-1\right) 4 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}} = \frac{\left(-1\right) 4 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}$$
- Sí
$$\frac{\left(-1\right) 4 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}} = - \frac{\left(-1\right) 4 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}$$
- No
es decir, función
es
par