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(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(-x/2)
Trazado el gráfico de la función/ (-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(-x/2)

Gráfico de la función y = (-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(-x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                        -x 
       /     /    ___\      /    ___\\  ---
       |     |x*\/ 3 |      |x*\/ 3 ||   2 
f(x) = |- cos|-------| - sin|-------||*e   
       \     \   2   /      \   2   //
f(x)=(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2f{\left(x \right)} = \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} 
f = (-sin((sqrt(3)*x)/2) - cos((sqrt(3)*x)/2))*exp((-x)/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2=0\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3π6x_{1} = - \frac{\sqrt{3} \pi}{6}
Solución numérica
x1=−11.7896958675224x_{1} = -11.7896958675224
x2=−48.0656831522068x_{2} = -48.0656831522068
x3=89.7830685295938x_{3} = 89.7830685295938
x4=−62.5760780660805x_{4} = -62.5760780660805
x5=−29.9276895098646x_{5} = -29.9276895098646
x6=17.2310939602251x_{6} = 17.2310939602251
x7=53.5070812449094x_{7} = 53.5070812449094
x8=−44.4380844237383x_{8} = -44.4380844237383
x9=−40.8104856952699x_{9} = -40.8104856952699
x10=−8.16209713905398x_{10} = -8.16209713905398
x11=49.879482516441x_{11} = 49.879482516441
x12=100.665864714999x_{12} = 100.665864714999
x13=42.6242850595041x_{13} = 42.6242850595041
x14=24.4862914171619x_{14} = 24.4862914171619
x15=46.2518837879726x_{15} = 46.2518837879726
x16=−37.1828869668015x_{16} = -37.1828869668015
x17=86.1554698011253x_{17} = 86.1554698011253
x18=20.8586926886935x_{18} = 20.8586926886935
x19=−58.9484793376121x_{19} = -58.9484793376121
x20=38.9966863310357x_{20} = 38.9966863310357
x21=57.1346799733779x_{21} = 57.1346799733779
x22=75.27267361572x_{22} = 75.27267361572
x23=31.7414888740988x_{23} = 31.7414888740988
x24=68.0174761587832x_{24} = 68.0174761587832
x25=−22.6724920529277x_{25} = -22.6724920529277
x26=35.3690876025672x_{26} = 35.3690876025672
x27=93.4106672580622x_{27} = 93.4106672580622
x28=6.34829777481976x_{28} = 6.34829777481976
x29=28.1138901456304x_{29} = 28.1138901456304
x30=−33.555288238333x_{30} = -33.555288238333
x31=−55.3208806091436x_{31} = -55.3208806091436
x32=13.6034952317566x_{32} = 13.6034952317566
x33=−26.3000907813962x_{33} = -26.3000907813962
x34=−15.4172945959909x_{34} = -15.4172945959909
x35=71.6450748872516x_{35} = 71.6450748872516
x36=64.3898774303147x_{36} = 64.3898774303147
x37=−0.906899682117109x_{37} = -0.906899682117109
x38=2.72069904635133x_{38} = 2.72069904635133
x39=82.5278710726569x_{39} = 82.5278710726569
x40=60.7622787018463x_{40} = 60.7622787018463
x41=9.9758965032882x_{41} = 9.9758965032882
x42=−4.53449841058554x_{42} = -4.53449841058554
x43=97.0382659865307x_{43} = 97.0382659865307
x44=78.9002723441885x_{44} = 78.9002723441885
x45=−19.0448933244593x_{45} = -19.0448933244593
x46=−51.6932818806752x_{46} = -51.6932818806752
x47=158.707444370494x_{47} = 158.707444370494
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-cos((x*sqrt(3))/2) - sin((x*sqrt(3))/2))*exp((-x)/2).
(−cos⁡(032)−sin⁡(032))e(−1)02\left(- \cos{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{2} \right)} - \sin{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 0}{2}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(3sin⁡(3x2)2−3cos⁡(3x2)2)e(−1)x2−(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x22=0\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} - \frac{\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−43atan⁡(2+3+2+6)3x_{1} = - \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}
x2=−43atan⁡(−6−2+3+2)3x_{2} = - \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                                                    ___     /      ___     ___     ___\ 
                                                                                                                                2*\/ 3 *atan\2 + \/ 2  + \/ 3  + \/ 6 / 
      ___     /      ___     ___     ___\                                                                                       --------------------------------------- 
 -4*\/ 3 *atan\2 + \/ 2  + \/ 3  + \/ 6 /  /     /      /      ___     ___     ___\\      /      /      ___     ___     ___\\\                     3                    
(----------------------------------------, \- cos\2*atan\2 + \/ 2  + \/ 3  + \/ 6 // + sin\2*atan\2 + \/ 2  + \/ 3  + \/ 6 ///*e                                       )
                    3                                                                                                                                                   

                                                                                                                                    ___     /      ___     ___     ___\ 
                                                                                                                                2*\/ 3 *atan\2 + \/ 3  - \/ 2  - \/ 6 / 
      ___     /      ___     ___     ___\                                                                                       --------------------------------------- 
 -4*\/ 3 *atan\2 + \/ 3  - \/ 2  - \/ 6 /  /     /      /      ___     ___     ___\\      /      /      ___     ___     ___\\\                     3                    
(----------------------------------------, \- cos\2*atan\2 + \/ 3  - \/ 2  - \/ 6 // + sin\2*atan\2 + \/ 3  - \/ 2  - \/ 6 ///*e                                       )
                    3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−43atan⁡(−6−2+3+2)3x_{1} = - \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−43atan⁡(2+3+2+6)3x_{1} = - \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−43atan⁡(2+3+2+6)3]∪[−43atan⁡(−6−2+3+2)3,∞)\left(-\infty, - \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}\right] \cup \left[- \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−43atan⁡(2+3+2+6)3,−43atan⁡(−6−2+3+2)3]\left[- \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−23(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))+2sin⁡(3x2)+2cos⁡(3x2))e−x24=0\frac{\left(- 2 \sqrt{3} \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) + 2 \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=43atan⁡(−6−2+2+3)3x_{1} = \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - 2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)}}{3}
x2=−43atan⁡(−6−3+2+2)3x_{2} = - \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 \right)}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[43atan⁡(−6−2+2+3)3,−43atan⁡(−6−3+2+2)3]\left[\frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - 2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 \right)}}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,43atan⁡(−6−2+2+3)3]∪[−43atan⁡(−6−3+2+2)3,∞)\left(-\infty, \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - 2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)}}{3}\right] \cup \left[- \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 \right)}}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞((−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-cos((x*sqrt(3))/2) - sin((x*sqrt(3))/2))*exp((-x)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
lim⁡x→∞((−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2=(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} = \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}
- No
(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2=−(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} = - \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(-x/2)
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