Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4/(1+x)^3
-
x/2
-
-x+1
-
|x|
-
Expresiones idénticas
- uno / dos *log(tan(x/ dos))- uno / dos *cos(x)/sin(x)^(dos)
- 1 dividir por 2 multiplicar por logaritmo de ( tangente de (x dividir por 2)) menos 1 dividir por 2 multiplicar por coseno de (x) dividir por seno de (x) en el grado (2)
- uno dividir por dos multiplicar por logaritmo de ( tangente de (x dividir por dos)) menos uno dividir por dos multiplicar por coseno de (x) dividir por seno de (x) en el grado (dos)
- 1/2*log(tan(x/2))-1/2*cos(x)/sin(x)(2)
- 1/2*logtanx/2-1/2*cosx/sinx2
- 1/2log(tan(x/2))-1/2cos(x)/sin(x)^(2)
- 1/2log(tan(x/2))-1/2cos(x)/sin(x)(2)
- 1/2logtanx/2-1/2cosx/sinx2
- 1/2logtanx/2-1/2cosx/sinx^2
- 1 dividir por 2*log(tan(x dividir por 2))-1 dividir por 2*cos(x) dividir por sin(x)^(2)
-
Expresiones semejantes
- 1/2*log(tan(x/2))+1/2*cos(x)/sin(x)^(2)
- 1/2*log(tan(x/2))-1/2*cosx/sinx^(2)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x^2+2*x)
- log(sin(x))^2
- log(y)
- log(x^2-6x+10)
- log(tan(x+1)^2)
- Tangente tan
- tan(2*x)
- tan(t)
- tan(x)^3
- tan(3*x-1)
- tan(x)+2
- Coseno cos
- cos(x)-2
- cos(x)*x
- cosx+x^2
- cos(x)-1/2
- cos(log(x))
- Seno sin
- sin(x)-x*cos(x)
- sin(x)-2*cos(x)+3*sin(2*x)
- sin(x)/2*x+16
- sin(sin(x))/x
- sin(x)/((3*x))
Gráfico de la función y = 1/2*log(tan(x/2))-1/2*cos(x)/sin(x)^(2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ /x\\ /cos(x)\
log|tan|-|| |------|
\ \2// \ 2 /
f(x) = ----------- - --------
2 2
sin (x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
f = log(tan(x/2))/2 - cos(x)/2/sin(x)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{8 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{8 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{8 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{8 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right) = 1.33376048898637 \cdot 10^{64}$$
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{8 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right) = 1.33376048898637 \cdot 10^{64}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{8 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{8 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{8 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{8 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right) = 1.33376048898637 \cdot 10^{64}$$
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{8 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right) = 1.33376048898637 \cdot 10^{64}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(tan(x/2))/2 - cos(x)/2/sin(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\log{\left(- \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
- No
$$\frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{\log{\left(- \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} + \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\log{\left(- \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
- No
$$\frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{\log{\left(- \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} + \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar