Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(3)sin(x)-cos(x)

Gráfico de la función y = sqrt(3)sin(x)-cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___                
f(x) = \/ 3 *sin(x) - cos(x)
f(x)=3sin⁡(x)−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} 
f = sqrt(3)*sin(x) - cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3sin⁡(x)−cos⁡(x)=0\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Solución numérica
x1=69.6386371545737x_{1} = 69.6386371545737
x2=19.3731546971371x_{2} = 19.3731546971371
x3=−12.0427718387609x_{3} = -12.0427718387609
x4=6.80678408277789x_{4} = 6.80678408277789
x5=927.293431584587x_{5} = 927.293431584587
x6=−43.4586983746588x_{6} = -43.4586983746588
x7=−18.3259571459405x_{7} = -18.3259571459405
x8=44.5058959258554x_{8} = 44.5058959258554
x9=0.523598775598299x_{9} = 0.523598775598299
x10=−100.007366139275x_{10} = -100.007366139275
x11=−71.733032256967x_{11} = -71.733032256967
x12=41.3643032722656x_{12} = 41.3643032722656
x13=57.0722665402146x_{13} = 57.0722665402146
x14=94.7713783832921x_{14} = 94.7713783832921
x15=−65.4498469497874x_{15} = -65.4498469497874
x16=−93.7241808320955x_{16} = -93.7241808320955
x17=88.4881930761125x_{17} = 88.4881930761125
x18=22.5147473507269x_{18} = 22.5147473507269
x19=75.9218224617533x_{19} = 75.9218224617533
x20=−15.1843644923507x_{20} = -15.1843644923507
x21=−59.1666616426078x_{21} = -59.1666616426078
x22=82.2050077689329x_{22} = 82.2050077689329
x23=47.6474885794452x_{23} = 47.6474885794452
x24=79.0634151153431x_{24} = 79.0634151153431
x25=91.6297857297023x_{25} = 91.6297857297023
x26=66.497044500984x_{26} = 66.497044500984
x27=−46.6002910282486x_{27} = -46.6002910282486
x28=63.3554518473942x_{28} = 63.3554518473942
x29=−87.4409955249159x_{29} = -87.4409955249159
x30=−2509.60893144265x_{30} = -2509.60893144265
x31=28.7979326579064x_{31} = 28.7979326579064
x32=13.0899693899575x_{32} = 13.0899693899575
x33=119.90411961201x_{33} = 119.90411961201
x34=−90.5825881785057x_{34} = -90.5825881785057
x35=−8.90117918517108x_{35} = -8.90117918517108
x36=−56.025068989018x_{36} = -56.025068989018
x37=25.6563400043166x_{37} = 25.6563400043166
x38=60.2138591938044x_{38} = 60.2138591938044
x39=−49.7418836818384x_{39} = -49.7418836818384
x40=−27.7507351067098x_{40} = -27.7507351067098
x41=−34.0339204138894x_{41} = -34.0339204138894
x42=−5.75958653158129x_{42} = -5.75958653158129
x43=3.66519142918809x_{43} = 3.66519142918809
x44=38.2227106186758x_{44} = 38.2227106186758
x45=85.3466004225227x_{45} = 85.3466004225227
x46=31.9395253114962x_{46} = 31.9395253114962
x47=−84.2994028713261x_{47} = -84.2994028713261
x48=−68.5914396033772x_{48} = -68.5914396033772
x49=−81.1578102177363x_{49} = -81.1578102177363
x50=16.2315620435473x_{50} = 16.2315620435473
x51=−37.1755130674792x_{51} = -37.1755130674792
x52=−52.8834763354282x_{52} = -52.8834763354282
x53=97.9129710368819x_{53} = 97.9129710368819
x54=−62.3082542961976x_{54} = -62.3082542961976
x55=−40.317105721069x_{55} = -40.317105721069
x56=101.054563690472x_{56} = 101.054563690472
x57=35.081117965086x_{57} = 35.081117965086
x58=−96.8657734856853x_{58} = -96.8657734856853
x59=−21.4675497995303x_{59} = -21.4675497995303
x60=−24.60914245312x_{60} = -24.60914245312
x61=72.7802298081635x_{61} = 72.7802298081635
x62=−78.0162175641465x_{62} = -78.0162175641465
x63=−74.8746249105567x_{63} = -74.8746249105567
x64=9.94837673636768x_{64} = 9.94837673636768
x65=−2.61799387799149x_{65} = -2.61799387799149
x66=50.789081233035x_{66} = 50.789081233035
x67=53.9306738866248x_{67} = 53.9306738866248
x68=−30.8923277602996x_{68} = -30.8923277602996
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(3)*sin(x) - cos(x).
−cos⁡(0)+3sin⁡(0)- \cos{\left(0 \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)+3cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      
(----, -2)
  3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−π3,∞)\left[- \frac{\pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π3]\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3sin⁡(x)+cos⁡(x)=0- \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π6]\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right]
Convexa en los intervalos
[π6,∞)\left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)−cos⁡(x))=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)−cos⁡(x))=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(3)*sin(x) - cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3sin⁡(x)−cos⁡(x)=−3sin⁡(x)−cos⁡(x)\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
3sin⁡(x)−cos⁡(x)=3sin⁡(x)+cos⁡(x)\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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