Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{\sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}} + \sin{\left(x \right)}\right)}{3 \left(\frac{\left(\left(\sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)}\right) + 4\right)^{2}}{12} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(3 x^{6} - 3 x^{4} - 32 x^{3} - 3 x^{2} + 3, 1\right)} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___ / _________________________________________________________\\
/ / 6 4 3 2 \\ |\/ 3 | / / / 6 4 3 2 \\\ ___ / / / / 6 4 3 2 \\\ ||
(2*atan\CRootOf\3*x - 3*x - 32*x - 3*x + 3, 1//, 2*atan|-----*\4 - cos\2*atan\CRootOf\3*x - 3*x - 32*x - 3*x + 3, 1/// + \/ 3 *\/ sin\2*atan\CRootOf\3*x - 3*x - 32*x - 3*x + 3, 1/// /|)
\ 6 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(3 x^{6} - 3 x^{4} - 32 x^{3} - 3 x^{2} + 3, 1\right)} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(3 x^{6} - 3 x^{4} - 32 x^{3} - 3 x^{2} + 3, 1\right)} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(3 x^{6} - 3 x^{4} - 32 x^{3} - 3 x^{2} + 3, 1\right)} \right)}, \infty\right)$$