Sr Examen

Otras calculadoras

Gráfico de la función y = 2*atan((sqrt(3*sin(x))-cos(x)+4)/(2*sqrt(3)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
             /  __________             \
             |\/ 3*sin(x)  - cos(x) + 4|
f(x) = 2*atan|-------------------------|
             |             ___         |
             \         2*\/ 3          /
$$f{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\left(\sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{2 \sqrt{3}} \right)}$$
f = 2*atan((sqrt(3*sin(x)) - cos(x) + 4)/((2*sqrt(3))))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\left(\sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{2 \sqrt{3}} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*atan((sqrt(3*sin(x)) - cos(x) + 4)/((2*sqrt(3)))).
$$2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\left(- \cos{\left(0 \right)} + \sqrt{3 \sin{\left(0 \right)}}\right) + 4}{2 \sqrt{3}} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
Punto:
(0, 2*atan(sqrt(3)/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}} + \sin{\left(x \right)}\right)}{3 \left(\frac{\left(\left(\sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)}\right) + 4\right)^{2}}{12} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(3 x^{6} - 3 x^{4} - 32 x^{3} - 3 x^{2} + 3, 1\right)} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                                           /  ___ /                                                                       _________________________________________________________\\ 
       /       /   6      4       3      2       \\        |\/ 3  |       /      /       /   6      4       3      2       \\\     ___   /    /      /       /   6      4       3      2       \\\ || 
(2*atan\CRootOf\3*x  - 3*x  - 32*x  - 3*x  + 3, 1//, 2*atan|-----*\4 - cos\2*atan\CRootOf\3*x  - 3*x  - 32*x  - 3*x  + 3, 1/// + \/ 3 *\/  sin\2*atan\CRootOf\3*x  - 3*x  - 32*x  - 3*x  + 3, 1/// /|)
                                                           \  6                                                                                                                                     / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(3 x^{6} - 3 x^{4} - 32 x^{3} - 3 x^{2} + 3, 1\right)} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(3 x^{6} - 3 x^{4} - 32 x^{3} - 3 x^{2} + 3, 1\right)} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(3 x^{6} - 3 x^{4} - 32 x^{3} - 3 x^{2} + 3, 1\right)} \right)}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\left(\sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{2 \sqrt{3}} \right)}\right) = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(\sqrt{3} \left\langle 0, 1\right\rangle + \left\langle 3, 5\right\rangle\right)}{6} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(\sqrt{3} \left\langle 0, 1\right\rangle + \left\langle 3, 5\right\rangle\right)}{6} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\left(\sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{2 \sqrt{3}} \right)}\right) = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(\sqrt{3} \left\langle 0, 1\right\rangle + \left\langle 3, 5\right\rangle\right)}{6} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(\sqrt{3} \left\langle 0, 1\right\rangle + \left\langle 3, 5\right\rangle\right)}{6} \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*atan((sqrt(3*sin(x)) - cos(x) + 4)/((2*sqrt(3)))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\left(\sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{2 \sqrt{3}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\left(\sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{2 \sqrt{3}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\left(\sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{2 \sqrt{3}} \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{6} \left(\sqrt{3} \sqrt{- \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} + 4\right) \right)}$$
- No
$$2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\left(\sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{2 \sqrt{3}} \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{6} \left(\sqrt{3} \sqrt{- \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} + 4\right) \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar