Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -sinx

Gráfico de la función y = -sinx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -sin(x)
f(x)=−sin⁡(x)f{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} 
f = -sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−sin⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=−43.9822971502571x_{1} = -43.9822971502571
x2=−31.4159265358979x_{2} = -31.4159265358979
x3=84.8230016469244x_{3} = 84.8230016469244
x4=−91.106186954104x_{4} = -91.106186954104
x5=−97.3893722612836x_{5} = -97.3893722612836
x6=91.106186954104x_{6} = 91.106186954104
x7=6.28318530717959x_{7} = 6.28318530717959
x8=−72.2566310325652x_{8} = -72.2566310325652
x9=−2642.07942166902x_{9} = -2642.07942166902
x10=−47.1238898038469x_{10} = -47.1238898038469
x11=−113.097335529233x_{11} = -113.097335529233
x12=94.2477796076938x_{12} = 94.2477796076938
x13=50.2654824574367x_{13} = 50.2654824574367
x14=56.5486677646163x_{14} = 56.5486677646163
x15=43.9822971502571x_{15} = 43.9822971502571
x16=47.1238898038469x_{16} = 47.1238898038469
x17=−50.2654824574367x_{17} = -50.2654824574367
x18=37.6991118430775x_{18} = 37.6991118430775
x19=−28.2743338823081x_{19} = -28.2743338823081
x20=65.9734457253857x_{20} = 65.9734457253857
x21=15.707963267949x_{21} = 15.707963267949
x22=28.2743338823081x_{22} = 28.2743338823081
x23=−62.8318530717959x_{23} = -62.8318530717959
x24=40.8407044966673x_{24} = 40.8407044966673
x25=−40.8407044966673x_{25} = -40.8407044966673
x26=−6.28318530717959x_{26} = -6.28318530717959
x27=−81.6814089933346x_{27} = -81.6814089933346
x28=−15.707963267949x_{28} = -15.707963267949
x29=−59.6902604182061x_{29} = -59.6902604182061
x30=72.2566310325652x_{30} = 72.2566310325652
x31=3.14159265358979x_{31} = 3.14159265358979
x32=−25.1327412287183x_{32} = -25.1327412287183
x33=21.9911485751286x_{33} = 21.9911485751286
x34=−75.398223686155x_{34} = -75.398223686155
x35=−56.5486677646163x_{35} = -56.5486677646163
x36=−267.035375555132x_{36} = -267.035375555132
x37=−69.1150383789755x_{37} = -69.1150383789755
x38=−84.8230016469244x_{38} = -84.8230016469244
x39=78.5398163397448x_{39} = 78.5398163397448
x40=9.42477796076938x_{40} = 9.42477796076938
x41=−232.477856365645x_{41} = -232.477856365645
x42=−53.4070751110265x_{42} = -53.4070751110265
x43=62.8318530717959x_{43} = 62.8318530717959
x44=−18.8495559215388x_{44} = -18.8495559215388
x45=25.1327412287183x_{45} = 25.1327412287183
x46=100.530964914873x_{46} = 100.530964914873
x47=−87.9645943005142x_{47} = -87.9645943005142
x48=−9.42477796076938x_{48} = -9.42477796076938
x49=75.398223686155x_{49} = 75.398223686155
x50=81.6814089933346x_{50} = 81.6814089933346
x51=87.9645943005142x_{51} = 87.9645943005142
x52=12.5663706143592x_{52} = 12.5663706143592
x53=−34.5575191894877x_{53} = -34.5575191894877
x54=69.1150383789755x_{54} = 69.1150383789755
x55=−3.14159265358979x_{55} = -3.14159265358979
x56=0x_{56} = 0
x57=−21.9911485751286x_{57} = -21.9911485751286
x58=−37.6991118430775x_{58} = -37.6991118430775
x59=31.4159265358979x_{59} = 31.4159265358979
x60=−78.5398163397448x_{60} = -78.5398163397448
x61=−12.5663706143592x_{61} = -12.5663706143592
x62=−94.2477796076938x_{62} = -94.2477796076938
x63=97.3893722612836x_{63} = 97.3893722612836
x64=−100.530964914873x_{64} = -100.530964914873
x65=59.6902604182061x_{65} = 59.6902604182061
x66=53.4070751110265x_{66} = 53.4070751110265
x67=34.5575191894877x_{67} = 34.5575191894877
x68=−65.9734457253857x_{68} = -65.9734457253857
x69=18.8495559215388x_{69} = 18.8495559215388
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -sin(x).
−sin⁡(0)- \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−cos⁡(x)=0- \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi     
(--, -1)
 2      

 3*pi    
(----, 1)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Decrece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(−sin⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−sin⁡(x)=sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}
- No
−sin⁡(x)=−sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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