Sr Examen

Otras calculadoras

(sin(x)+cos(x))^2
Trazado el gráfico de la función/ (sin(x)+cos(x))^2

Gráfico de la función y = (sin(x)+cos(x))^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                        2
f(x) = (sin(x) + cos(x))
f(x)=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2f{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} 
f = (sin(x) + cos(x))^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(sin⁡(x)+cos⁡(x))2=0\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Solución numérica
x1=−85.608399894653x_{1} = -85.608399894653
x2=−29.0597320982225x_{2} = -29.0597320982225
x3=62.0464548195549x_{3} = 62.0464548195549
x4=−44.7676954314418x_{4} = -44.7676954314418
x5=−3.92699107594367x_{5} = -3.92699107594367
x6=43.1968992294597x_{6} = 43.1968992294597
x7=14.9225648553046x_{7} = 14.9225648553046
x8=−41.6261027352652x_{8} = -41.6261027352652
x9=21.2057502602382x_{9} = 21.2057502602382
x10=36.9137135281996x_{10} = 36.9137135281996
x11=−60.4756585174615x_{11} = -60.4756585174615
x12=49.4800845342934x_{12} = 49.4800845342934
x13=−44.7676950635734x_{13} = -44.7676950635734
x14=−63.6172513149926x_{14} = -63.6172513149926
x15=−0.785398304611266x_{15} = -0.785398304611266
x16=24.3473430043575x_{16} = 24.3473430043575
x17=−73.0420294459387x_{17} = -73.0420294459387
x18=−7.06858355298869x_{18} = -7.06858355298869
x19=40.0553062099627x_{19} = 40.0553062099627
x20=71.471233111112x_{20} = 71.471233111112
x21=−54.1924731445711x_{21} = -54.1924731445711
x22=99.7455669089878x_{22} = 99.7455669089878
x23=11.7809725930891x_{23} = 11.7809725930891
x24=−66.7588439932285x_{24} = -66.7588439932285
x25=52.6216767646073x_{25} = 52.6216767646073
x26=14.9225649892472x_{26} = 14.9225649892472
x27=−35.3429175479242x_{27} = -35.3429175479242
x28=−51.0508806461775x_{28} = -51.0508806461775
x29=84.0376034199549x_{29} = 84.0376034199549
x30=58.9048620066655x_{30} = 58.9048620066655
x31=36.9137134309271x_{31} = 36.9137134309271
x32=−82.4668069282144x_{32} = -82.4668069282144
x33=−38.4845103583538x_{33} = -38.4845103583538
x34=18.0641575837788x_{34} = 18.0641575837788
x35=−73.0420291965934x_{35} = -73.0420291965934
x36=−60.4756583509459x_{36} = -60.4756583509459
x37=−16.4933611966261x_{37} = -16.4933611966261
x38=87.1791963746667x_{38} = 87.1791963746667
x39=96.6039739212089x_{39} = 96.6039739212089
x40=−76.1836225361187x_{40} = -76.1836225361187
x41=55.7632697006301x_{41} = 55.7632697006301
x42=−0.785397916651749x_{42} = -0.785397916651749
x43=80.896010582516x_{43} = 80.896010582516
x44=−32.2013245652766x_{44} = -32.2013245652766
x45=−35.3429178934093x_{45} = -35.3429178934093
x46=77.7544183301131x_{46} = 77.7544183301131
x47=−51.0508808708243x_{47} = -51.0508808708243
x48=−22.7765464900166x_{48} = -22.7765464900166
x49=−38.4845097737495x_{49} = -38.4845097737495
x50=62.0464547256144x_{50} = 62.0464547256144
x51=−7.0685837201977x_{51} = -7.0685837201977
x52=−79.3252147038408x_{52} = -79.3252147038408
x53=−95.0331780209134x_{53} = -95.0331780209134
x54=−13.3517689698773x_{54} = -13.3517689698773
x55=65.1880478021829x_{55} = 65.1880478021829
x56=68.3296401645238x_{56} = 68.3296401645238
x57=65.1880473923958x_{57} = 65.1880473923958
x58=−22.7765468685351x_{58} = -22.7765468685351
x59=−57.3340661259123x_{59} = -57.3340661259123
x60=74.6128253428807x_{60} = 74.6128253428807
x61=−98.1747703033985x_{61} = -98.1747703033985
x62=27.4889359573966x_{62} = 27.4889359573966
x63=90.3207887447523x_{63} = 90.3207887447523
x64=87.1791959595656x_{64} = 87.1791959595656
x65=21.2057506565108x_{65} = 21.2057506565108
x66=55.7632697511726x_{66} = 55.7632697511726
x67=43.1968988259316x_{67} = 43.1968988259316
x68=−88.7499922112266x_{68} = -88.7499922112266
x69=80.8960105951638x_{69} = 80.8960105951638
x70=−29.0597322955756x_{70} = -29.0597322955756
x71=58.9048620635881x_{71} = 58.9048620635881
x72=−101.316363786262x_{72} = -101.316363786262
x73=33.7721211721652x_{73} = 33.7721211721652
x74=2.35619442440536x_{74} = 2.35619442440536
x75=5.49778738042301x_{75} = 5.49778738042301
x76=8.63937960822746x_{76} = 8.63937960822746
x77=−88.7499925537801x_{77} = -88.7499925537801
x78=−91.8915845717239x_{78} = -91.8915845717239
x79=93.462381687851x_{79} = 93.462381687851
x80=−76.1836217239439x_{80} = -76.1836217239439
x81=−10.2101759860574x_{81} = -10.2101759860574
x82=96.6039739773235x_{82} = 96.6039739773235
x83=46.3384915843947x_{83} = 46.3384915843947
x84=−66.758843637313x_{84} = -66.758843637313
x85=−19.6349541554673x_{85} = -19.6349541554673
x86=−95.0331777492301x_{86} = -95.0331777492301
x87=30.6305281863893x_{87} = 30.6305281863893
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sin(x) + cos(x))^2.
(sin⁡(0)+cos⁡(0))2\left(\sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}\right)^{2}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2sin⁡(x)+2cos⁡(x))(sin⁡(x)+cos⁡(x))=0\left(- 2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x4=3π4x_{4} = \frac{3 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -3*pi    
(-----, 2)
   4      

 -pi     
(----, 0)
  4      

 pi    
(--, 2)
 4     

 3*pi    
(----, 0)
  4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x2=−3π4x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
[3π4,∞)\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,3π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((sin⁡(x)−cos⁡(x))2−(sin⁡(x)+cos⁡(x))2)=02 \left(\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} - \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π2,0]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+cos⁡(x))2=⟨0,4⟩\lim_{x \to -\infty} \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = \left\langle 0, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,4⟩y = \left\langle 0, 4\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+cos⁡(x))2=⟨0,4⟩\lim_{x \to \infty} \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = \left\langle 0, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,4⟩y = \left\langle 0, 4\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sin(x) + cos(x))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(x)+cos⁡(x))2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((sin⁡(x)+cos⁡(x))2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(sin⁡(x)+cos⁡(x))2=(−sin⁡(x)+cos⁡(x))2\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}
- No
(sin⁡(x)+cos⁡(x))2=−(−sin⁡(x)+cos⁡(x))2\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = - \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (sin(x)+cos(x))^2
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