Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (sin(x)-cos(x))^2

Gráfico de la función y = (sin(x)-cos(x))^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                        2
f(x) = (sin(x) - cos(x))
f(x)=(sin⁡(x)−cos⁡(x))2f{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} 
f = (sin(x) - cos(x))^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(sin⁡(x)−cos⁡(x))2=0\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=10.2101761576945x_{1} = 10.2101761576945
x2=−36.9137134891678x_{2} = -36.9137134891678
x3=−80.8960110535094x_{3} = -80.8960110535094
x4=−46.3384918201522x_{4} = -46.3384918201522
x5=−52.6216765719183x_{5} = -52.6216765719183
x6=−30.6305281172761x_{6} = -30.6305281172761
x7=−77.754418173028x_{7} = -77.754418173028
x8=−90.320788607123x_{8} = -90.320788607123
x9=82.4668070362749x_{9} = 82.4668070362749
x10=−62.0464548641931x_{10} = -62.0464548641931
x11=88.7499922419838x_{11} = 88.7499922419838
x12=−40.0553062823371x_{12} = -40.0553062823371
x13=7.06858323491875x_{13} = 7.06858323491875
x14=51.0508803807674x_{14} = 51.0508803807674
x15=29.0597318077204x_{15} = 29.0597318077204
x16=29.0597322134693x_{16} = 29.0597322134693
x17=−49.4800844377116x_{17} = -49.4800844377116
x18=−24.3473430701779x_{18} = -24.3473430701779
x19=35.3429176094788x_{19} = 35.3429176094788
x20=13.3517690340018x_{20} = 13.3517690340018
x21=54.192473326822x_{21} = 54.192473326822
x22=0.785397933202895x_{22} = 0.785397933202895
x23=98.1747705006042x_{23} = 98.1747705006042
x24=69.9004366227711x_{24} = 69.9004366227711
x25=−2.35619439286547x_{25} = -2.35619439286547
x26=7.06858364655338x_{26} = 7.06858364655338
x27=60.4756584571505x_{27} = 60.4756584571505
x28=−21.2057506438029x_{28} = -21.2057506438029
x29=−46.3384914504975x_{29} = -46.3384914504975
x30=−65.1880477975749x_{30} = -65.1880477975749
x31=−153.15264217109x_{31} = -153.15264217109
x32=−62.0464545510179x_{32} = -62.0464545510179
x33=−58.9048624818554x_{33} = -58.9048624818554
x34=41.6261028620108x_{34} = 41.6261028620108
x35=−96.6039738449592x_{35} = -96.6039738449592
x36=44.7676950874451x_{36} = 44.7676950874451
x37=16.4933612990544x_{37} = 16.4933612990544
x38=−36.9137139098865x_{38} = -36.9137139098865
x39=66.7588436646782x_{39} = 66.7588436646782
x40=−99.745566754733x_{40} = -99.745566754733
x41=−8.6393795270917x_{41} = -8.6393795270917
x42=−2.35619429411883x_{42} = -2.35619429411883
x43=76.1836219129628x_{43} = 76.1836219129628
x44=57.3340661848436x_{44} = 57.3340661848436
x45=73.0420293451081x_{45} = 73.0420293451081
x46=−24.3473428722772x_{46} = -24.3473428722772
x47=35.3429175338589x_{47} = 35.3429175338589
x48=−14.9225649210104x_{48} = -14.9225649210104
x49=−74.6128250890583x_{49} = -74.6128250890583
x50=19.6349542839773x_{50} = 19.6349542839773
x51=95.0331775275438x_{51} = 95.0331775275438
x52=−43.1968987801324x_{52} = -43.1968987801324
x53=−11.7809724257318x_{53} = -11.7809724257318
x54=91.8915852031867x_{54} = 91.8915852031867
x55=−87.1791967606238x_{55} = -87.1791967606238
x56=−80.8960106270747x_{56} = -80.8960106270747
x57=−55.7632695910029x_{57} = -55.7632695910029
x58=38.4845098780771x_{58} = 38.4845098780771
x59=47.9092880421864x_{59} = 47.9092880421864
x60=−5.49778727991785x_{60} = -5.49778727991785
x61=57.334066070126x_{61} = 57.334066070126
x62=−14.9225653376224x_{62} = -14.9225653376224
x63=−65.1880480738962x_{63} = -65.1880480738962
x64=3.92699088042162x_{64} = 3.92699088042162
x65=73.0420289540461x_{65} = 73.0420289540461
x66=25.9181398404781x_{66} = 25.9181398404781
x67=63.6172514399813x_{67} = 63.6172514399813
x68=−68.3296400287794x_{68} = -68.3296400287794
x69=22.7765465102862x_{69} = 22.7765465102862
x70=13.3517690013813x_{70} = 13.3517690013813
x71=79.3252146099091x_{71} = 79.3252146099091
x72=−52.621676693071x_{72} = -52.621676693071
x73=32.2013247418177x_{73} = 32.2013247418177
x74=−58.9048620578704x_{74} = -58.9048620578704
x75=−96.6039736043971x_{75} = -96.6039736043971
x76=−74.6128252689663x_{76} = -74.6128252689663
x77=−43.1968992207295x_{77} = -43.1968992207295
x78=−8.63937954158422x_{78} = -8.63937954158422
x79=95.0331779096874x_{79} = 95.0331779096874
x80=−30.6305280514717x_{80} = -30.6305280514717
x81=101.316363152916x_{81} = 101.316363152916
x82=25.9181394614117x_{82} = 25.9181394614117
x83=−33.7721210085969x_{83} = -33.7721210085969
x84=−93.4623815953041x_{84} = -93.4623815953041
x85=−18.064157700815x_{85} = -18.064157700815
x86=−71.471233016533x_{86} = -71.471233016533
x87=−84.0376034464448x_{87} = -84.0376034464448
x88=−87.1791963743373x_{88} = -87.1791963743373
x89=−27.4889358588398x_{89} = -27.4889358588398
x90=79.3252147600926x_{90} = 79.3252147600926
x91=85.6084000178882x_{91} = 85.6084000178882
x92=51.0508807796768x_{92} = 51.0508807796768
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sin(x) - cos(x))^2.
(−cos⁡(0)+sin⁡(0))2\left(- \cos{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \right)}\right)^{2}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(sin⁡(x)−cos⁡(x))(2sin⁡(x)+2cos⁡(x))=0\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \left(2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x4=3π4x_{4} = \frac{3 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -3*pi    
(-----, 0)
   4      

 -pi     
(----, 2)
  4      

 pi    
(--, 0)
 4     

 3*pi    
(----, 2)
  4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Decrece en los intervalos
[−3π4,−π4]∪[π4,∞)\left[- \frac{3 \pi}{4}, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−3π4]\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−(sin⁡(x)−cos⁡(x))2+(sin⁡(x)+cos⁡(x))2)=02 \left(- \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} + \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]∪[π2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)−cos⁡(x))2=⟨0,4⟩\lim_{x \to -\infty} \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = \left\langle 0, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,4⟩y = \left\langle 0, 4\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)−cos⁡(x))2=⟨0,4⟩\lim_{x \to \infty} \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = \left\langle 0, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,4⟩y = \left\langle 0, 4\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sin(x) - cos(x))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(x)−cos⁡(x))2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((sin⁡(x)−cos⁡(x))2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(sin⁡(x)−cos⁡(x))2=(−sin⁡(x)−cos⁡(x))2\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}
- No
(sin⁡(x)−cos⁡(x))2=−(−sin⁡(x)−cos⁡(x))2\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = - \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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