Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(sinx)

Gráfico de la función y = log(sinx)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = log(sin(x))
f(x)=log⁡(sin⁡(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} 
f = log(sin(x))
Gráfico de la función
-5.0-4.0-3.0-2.0-1.00.01.02.03.0-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(sin⁡(x))=0\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=89.5353897747913x_{1} = 89.5353897747913
x2=76.9690195814988x_{2} = 76.9690195814988
x3=58.1194640878142x_{3} = 58.1194640878142
x4=−48.6946869113465x_{4} = -48.6946869113465
x5=45.5530926724619x_{5} = 45.5530926724619
x6=−73.8274273885517x_{6} = -73.8274273885517
x7=76.9690208439152x_{7} = 76.9690208439152
x8=−98.9601678624104x_{8} = -98.9601678624104
x9=1.57079557309815x_{9} = 1.57079557309815
x10=39.2699086546913x_{10} = 39.2699086546913
x11=14.1371671149845x_{11} = 14.1371671149845
x12=26.7035380336909x_{12} = 26.7035380336909
x13=−61.2610552210018x_{13} = -61.2610552210018
x14=83.2522055855063x_{14} = 83.2522055855063
x15=14.1371668991051x_{15} = 14.1371668991051
x16=7.85398174556756x_{16} = 7.85398174556756
x17=−10.9955735120111x_{17} = -10.9955735120111
x18=−80.1106127903609x_{18} = -80.1106127903609
x19=−98.9601685005998x_{19} = -98.9601685005998
x20=−42.4115015246508x_{20} = -42.4115015246508
x21=−67.5442419322395x_{21} = -67.5442419322395
x22=58.119464370396x_{22} = 58.119464370396
x23=−10.9955747464857x_{23} = -10.9955747464857
x24=70.6858344584179x_{24} = 70.6858344584179
x25=95.8185757390985x_{25} = 95.8185757390985
x26=64.4026494793175x_{26} = 64.4026494793175
x27=14.1371669434725x_{27} = 14.1371669434725
x28=−10.9955741211687x_{28} = -10.9955741211687
x29=−92.6769828388254x_{29} = -92.6769828388254
x30=−17.2787598626449x_{30} = -17.2787598626449
x31=39.2699074396221x_{31} = 39.2699074396221
x32=64.402649305744x_{32} = 64.402649305744
x33=−23.5619450139675x_{33} = -23.5619450139675
x34=−54.9778713174705x_{34} = -54.9778713174705
x35=83.2522058199769x_{35} = 83.2522058199769
x36=−29.8451302007713x_{36} = -29.8451302007713
x37=−54.9778719110131x_{37} = -54.9778719110131
x38=51.8362789063255x_{38} = 51.8362789063255
x39=−86.3937977199047x_{39} = -86.3937977199047
x40=−10.9955733481573x_{40} = -10.9955733481573
x41=−86.3937986220237x_{41} = -86.3937986220237
x42=7.85398147767715x_{42} = 7.85398147767715
x43=70.6858351446748x_{43} = 70.6858351446748
x44=58.1194640425023x_{44} = 58.1194640425023
x45=−54.9778706878326x_{45} = -54.9778706878326
x46=−48.694686949957x_{46} = -48.694686949957
x47=20.4203523413041x_{47} = 20.4203523413041
x48=32.9867238176799x_{48} = 32.9867238176799
x49=−73.8274273446888x_{49} = -73.8274273446888
x50=83.2522046592344x_{50} = 83.2522046592344
x51=−36.1283156556098x_{51} = -36.1283156556098
x52=−36.1283154154305x_{52} = -36.1283154154305
x53=20.4203521458531x_{53} = 20.4203521458531
x54=−80.1106125767506x_{54} = -80.1106125767506
x55=76.9690209763474x_{55} = 76.9690209763474
x56=−48.6946856746846x_{56} = -48.6946856746846
x57=−92.6769840888992x_{57} = -92.6769840888992
x58=45.5530937626454x_{58} = 45.5530937626454
x59=−4.71238851018714x_{59} = -4.71238851018714
x60=−73.827427279653x_{60} = -73.827427279653
x61=−4.71238973521995x_{61} = -4.71238973521995
x62=89.5353909237568x_{62} = 89.5353909237568
x63=32.9867224176774x_{63} = 32.9867224176774
x64=−67.5442421737401x_{64} = -67.5442421737401
x65=−54.9778705207315x_{65} = -54.9778705207315
x66=51.8362786093149x_{66} = 51.8362786093149
x67=95.8185760669056x_{67} = 95.8185760669056
x68=−4.71238974981597x_{68} = -4.71238974981597
x69=−42.4115005591739x_{69} = -42.4115005591739
x70=26.7035372979479x_{70} = 26.7035372979479
x71=89.5353892520407x_{71} = 89.5353892520407
x72=−61.2610570233699x_{72} = -61.2610570233699
x73=−98.9601690759292x_{73} = -98.9601690759292
x74=39.2699074534854x_{74} = 39.2699074534854
x75=−29.8451300946193x_{75} = -29.8451300946193
x76=32.9867230918614x_{76} = 32.9867230918614
x77=−92.676984146129x_{77} = -92.676984146129
x78=32.9867236651869x_{78} = 32.9867236651869
x79=−61.2610561822839x_{79} = -61.2610561822839
x80=−17.2787590751963x_{80} = -17.2787590751963
x81=−29.8451302446469x_{81} = -29.8451302446469
x82=83.2522046133019x_{82} = 83.2522046133019
x83=45.5530919949765x_{83} = 45.5530919949765
x84=1.57079660167231x_{84} = 1.57079660167231
x85=−23.5619447959101x_{85} = -23.5619447959101
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(sin(x)).
log⁡(sin⁡(0))\log{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 0)
 2     

 3*pi       
(----, pi*I)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(1+cos⁡2(x)sin⁡2(x))=0- (1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(sin⁡(x))=log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞log⁡(sin⁡(x))=log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(sin⁡(x))=log⁡(−sin⁡(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}
- No
log⁡(sin⁡(x))=−log⁡(−sin⁡(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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