Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((1-x)*cos(x)+(1+log(sin(x)))*sin(x))*exp(x)

Gráfico de la función y = ((1-x)*cos(x)+(1+log(sin(x)))*sin(x))*exp(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                                    x
f(x) = ((1 - x)*cos(x) + (1 + log(sin(x)))*sin(x))*e
f(x)=((1−x)cos⁡(x)+(log⁡(sin⁡(x))+1)sin⁡(x))exf{\left(x \right)} = \left(\left(1 - x\right) \cos{\left(x \right)} + \left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\right) e^{x} 
f = ((1 - x)*cos(x) + (log(sin(x)) + 1)*sin(x))*exp(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200000-100000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((1−x)cos⁡(x)+(log⁡(sin⁡(x))+1)sin⁡(x))ex=0\left(\left(1 - x\right) \cos{\left(x \right)} + \left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−48.6745618963351x_{1} = -48.6745618963351
x2=−98.9501644364724x_{2} = -98.9501644364724
x3=−92.6663080973156x_{3} = -92.6663080973156
x4=−36.101378636684x_{4} = -36.101378636684
x5=20.3688370790938x_{5} = 20.3688370790938
x6=−61.2449946500923x_{6} = -61.2449946500923
x7=−67.5296524170913x_{7} = -67.5296524170913
x8=−73.8140628778395x_{8} = -73.8140628778395
x9=−29.8127044972129x_{9} = -29.8127044972129
x10=−105.233941402809x_{10} = -105.233941402809
x11=−4.5364170608446x_{11} = -4.5364170608446
x12=−23.5212202529461x_{12} = -23.5212202529461
x13=−10.9121131788596x_{13} = -10.9121131788596
x14=−17.2240239396395x_{14} = -17.2240239396395
x15=−42.388463415127x_{15} = -42.388463415127
x16=−86.3823552644329x_{16} = -86.3823552644329
x17=26.6646225799413x_{17} = 26.6646225799413
x18=−80.0982835112885x_{18} = -80.0982835112885
x19=14.0609732193614x_{19} = 14.0609732193614
x20=7.70755555300224x_{20} = 7.70755555300224
x21=−54.9600062854945x_{21} = -54.9600062854945
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((1 - x)*cos(x) + (1 + log(sin(x)))*sin(x))*exp(x).
((log⁡(sin⁡(0))+1)sin⁡(0)+(1−0)cos⁡(0))e0\left(\left(\log{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(0 \right)} + \left(1 - 0\right) \cos{\left(0 \right)}\right) e^{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−(1−x)sin⁡(x)+(log⁡(sin⁡(x))+1)cos⁡(x))ex+((1−x)cos⁡(x)+(log⁡(sin⁡(x))+1)sin⁡(x))ex=0\left(- \left(1 - x\right) \sin{\left(x \right)} + \left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + \left(\left(1 - x\right) \cos{\left(x \right)} + \left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−87.1717010655597x_{1} = -87.1717010655597
x2=−93.4553902263664x_{2} = -93.4553902263664
x3=−43.1817734169754x_{3} = -43.1817734169754
x4=19.6016882742832x_{4} = 19.6016882742832
x5=25.8929337807792x_{5} = 25.8929337807792
x6=−30.6091989825668x_{6} = -30.6091989825668
x7=−80.887933640875x_{7} = -80.887933640875
x8=−99.7390159124047x_{8} = -99.7390159124047
x9=−24.3205115599165x_{9} = -24.3205115599165
x10=−55.7515522639841x_{10} = -55.7515522639841
x11=−18.0280001443294x_{11} = -18.0280001443294
x12=−68.3200776483051x_{12} = -68.3200776483051
x13=−74.6040681821394x_{13} = -74.6040681821394
x14=6.97644501102451x_{14} = 6.97644501102451
x15=−62.0359240466278x_{15} = -62.0359240466278
x16=−36.8960140248685x_{16} = -36.8960140248685
x17=−5.37940003086139x_{17} = -5.37940003086139
x18=13.3028715440284x_{18} = 13.3028715440284
x19=−49.4668791995882x_{19} = -49.4668791995882
x20=0.230263045776258x_{20} = 0.230263045776258
x21=−11.7255601097673x_{21} = -11.7255601097673
Signos de extremos en los puntos:
(-87.17170106555974, 8.64246579625746e-37)

(-93.45539022636638, 1.72807299303895e-39)

(-43.181773416975375, 5.51025774824858e-18)

(19.60168827428324, -4287289007.70554)

(25.892933780779156, -3096401865821.66)

(-30.60919898256677, 1.13760390990944e-12)

(-80.88793364087502, 4.30066731890363e-34)

(-99.73901591240474, 3.44023241514887e-42)

(-24.320511559916497, 4.90738193421642e-10)

(-55.75155226398413, 2.45980712604201e-23)

(-18.02800014432942, 1.99388965502894e-7)

(-68.32007764830507, 1.04551718020972e-28)

(-74.60406818213941, 2.12770631069675e-31)

(6.976445011024515, -4545.75040970981)

(-62.03592404662785, 5.09609733481379e-26)

(-36.89601402486848, 2.53753049629867e-15)

(-5.379400030861392, 0.0209445799011631)

(13.302871544028434, -5216444.48251112)

(-49.46687919958819, 1.17310434746478e-20)

(0.2302630457762584, 0.806301825636064)

(-11.72556010976732, 7.2858957700685e-5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=19.6016882742832x_{1} = 19.6016882742832
x2=25.8929337807792x_{2} = 25.8929337807792
x3=6.97644501102451x_{3} = 6.97644501102451
x4=13.3028715440284x_{4} = 13.3028715440284
x5=0.230263045776258x_{5} = 0.230263045776258
Puntos máximos de la función:
x5=−87.1717010655597x_{5} = -87.1717010655597
x5=−93.4553902263664x_{5} = -93.4553902263664
x5=−43.1817734169754x_{5} = -43.1817734169754
x5=−30.6091989825668x_{5} = -30.6091989825668
x5=−80.887933640875x_{5} = -80.887933640875
x5=−99.7390159124047x_{5} = -99.7390159124047
x5=−24.3205115599165x_{5} = -24.3205115599165
x5=−55.7515522639841x_{5} = -55.7515522639841
x5=−18.0280001443294x_{5} = -18.0280001443294
x5=−68.3200776483051x_{5} = -68.3200776483051
x5=−74.6040681821394x_{5} = -74.6040681821394
x5=−62.0359240466278x_{5} = -62.0359240466278
x5=−36.8960140248685x_{5} = -36.8960140248685
x5=−5.37940003086139x_{5} = -5.37940003086139
x5=−49.4668791995882x_{5} = -49.4668791995882
x5=−11.7255601097673x_{5} = -11.7255601097673
Decrece en los intervalos
[25.8929337807792,∞)\left[25.8929337807792, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−5.37940003086139,0.230263045776258]\left[-5.37940003086139, 0.230263045776258\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2(x−1)sin⁡(x)+2(log⁡(sin⁡(x))+1)cos⁡(x)+sin⁡(x)+cos⁡2(x)sin⁡(x))ex=0\left(2 \left(x - 1\right) \sin{\left(x \right)} + 2 \left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−25.013735798379x_{1} = -25.013735798379
x2=−59.7922456219306x_{2} = -59.7922456219306
x3=−56.4674991262868x_{3} = -56.4674991262868
x4=−53.5149142007168x_{4} = -53.5149142007168
x5=−81.6130657498853x_{5} = -81.6130657498853
x6=−9.66446180683438x_{6} = -9.66446180683438
x7=−6.04272928884163x_{7} = -6.04272928884163
x8=−75.3272750619356x_{8} = -75.3272750619356
x9=−15.9010864484862x_{9} = -15.9010864484862
x10=−12.3994788106087x_{10} = -12.3994788106087
x11=−62.7545900883005x_{11} = -62.7545900883005
x12=−50.1797083605784x_{12} = -50.1797083605784
x13=−91.1884705908313x_{13} = -91.1884705908313
x14=−43.8909754748466x_{14} = -43.8909754748466
x15=−66.0704106859554x_{15} = -66.0704106859554
x16=−18.7128848386998x_{16} = -18.7128848386998
x17=−47.238673084966x_{17} = -47.238673084966
x18=−97.4688939386214x_{18} = -97.4688939386214
x19=−3.49016683582536x_{19} = -3.49016683582536
x20=−100.468942586872x_{20} = -100.468942586872
x21=−69.041144051535x_{21} = -69.041144051535
x22=−37.600920157447x_{22} = -37.600920157447
x23=−22.1569115348643x_{23} = -22.1569115348643
x24=−31.3089023441628x_{24} = -31.3089023441628
x25=−94.1838577794544x_{25} = -94.1838577794544

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−3.49016683582536,∞)\left[-3.49016683582536, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−97.4688939386214]\left(-\infty, -97.4688939386214\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((1−x)cos⁡(x)+(log⁡(sin⁡(x))+1)sin⁡(x))ex)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(1 - x\right) \cos{\left(x \right)} + \left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\right) e^{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(((1−x)cos⁡(x)+(log⁡(sin⁡(x))+1)sin⁡(x))ex)y = \lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(1 - x\right) \cos{\left(x \right)} + \left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\right) e^{x}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((1 - x)*cos(x) + (1 + log(sin(x)))*sin(x))*exp(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((1−x)cos⁡(x)+(log⁡(sin⁡(x))+1)sin⁡(x))exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(1 - x\right) \cos{\left(x \right)} + \left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\right) e^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(((1−x)cos⁡(x)+(log⁡(sin⁡(x))+1)sin⁡(x))exx)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(1 - x\right) \cos{\left(x \right)} + \left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\right) e^{x}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((1−x)cos⁡(x)+(log⁡(sin⁡(x))+1)sin⁡(x))ex=((x+1)cos⁡(x)−(log⁡(−sin⁡(x))+1)sin⁡(x))e−x\left(\left(1 - x\right) \cos{\left(x \right)} + \left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\right) e^{x} = \left(\left(x + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \left(\log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\right) e^{- x}
- No
((1−x)cos⁡(x)+(log⁡(sin⁡(x))+1)sin⁡(x))ex=−((x+1)cos⁡(x)−(log⁡(−sin⁡(x))+1)sin⁡(x))e−x\left(\left(1 - x\right) \cos{\left(x \right)} + \left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\right) e^{x} = - \left(\left(x + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \left(\log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\right) e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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