Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$2 \left(- \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -15.7082191890374$$
$$x_{2} = 75.3982260183446$$
$$x_{3} = -75.3982260183446$$
$$x_{4} = -53.4070816709532$$
$$x_{5} = 53.4070816709532$$
$$x_{6} = -47.1238993512507$$
$$x_{7} = -40.8407191588716$$
$$x_{8} = -94.2477808019261$$
$$x_{9} = 43.98230889158$$
$$x_{10} = 3.16758836114823$$
$$x_{11} = -62.8318571011953$$
$$x_{12} = -9.42594558462241$$
$$x_{13} = -18.8497043937593$$
$$x_{14} = -91.1061882761657$$
$$x_{15} = 12.5668681635809$$
$$x_{16} = -3.16758836114823$$
$$x_{17} = 21.9912422140771$$
$$x_{18} = -21.9912422140771$$
$$x_{19} = -81.6814108277603$$
$$x_{20} = 87.9645957693188$$
$$x_{21} = 6.28701317511834$$
$$x_{22} = 69.1150414065892$$
$$x_{23} = 84.8230032850167$$
$$x_{24} = 9.42594558462241$$
$$x_{25} = -84.8230032850167$$
$$x_{26} = -12.5668681635809$$
$$x_{27} = -31.4159587220774$$
$$x_{28} = -50.2654903251137$$
$$x_{29} = -25.1328040205507$$
$$x_{30} = -37.6991304808952$$
$$x_{31} = 62.8318571011953$$
$$x_{32} = 91.1061882761657$$
$$x_{33} = 97.3893733436485$$
$$x_{34} = 40.8407191588716$$
$$x_{35} = 31.4159587220774$$
$$x_{36} = -56.548673291256$$
$$x_{37} = 18.8497043937593$$
$$x_{38} = 56.548673291256$$
$$x_{39} = 37.6991304808952$$
$$x_{40} = -34.5575433799626$$
$$x_{41} = -100.530965898917$$
$$x_{42} = -69.1150414065892$$
$$x_{43} = -43.98230889158$$
$$x_{44} = 0$$
$$x_{45} = 25.1328040205507$$
$$x_{46} = -65.9734492062964$$
$$x_{47} = 47.1238993512507$$
$$x_{48} = -6.28701317511834$$
$$x_{49} = 94.2477808019261$$
$$x_{50} = 78.5398184031738$$
$$x_{51} = 15.7082191890374$$
$$x_{52} = -72.2566336822883$$
$$x_{53} = -28.2743780124173$$
$$x_{54} = -97.3893733436485$$
$$x_{55} = 72.2566336822883$$
$$x_{56} = 34.5575433799626$$
$$x_{57} = 28.2743780124173$$
$$x_{58} = -87.9645957693188$$
$$x_{59} = 100.530965898917$$
$$x_{60} = 50.2654903251137$$
$$x_{61} = -78.5398184031738$$
$$x_{62} = 59.6902651176419$$
$$x_{63} = -59.6902651176419$$
$$x_{64} = 65.9734492062964$$
$$x_{65} = 81.6814108277603$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[100.530965898917, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -100.530965898917\right]$$