Sr Examen

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-2*cos(2*x)
Trazado el gráfico de la función/ -2*cos(2*x)

Gráfico de la función y = -2*cos(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -2*cos(2*x)
f(x)=−2cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = - 2 \cos{\left(2 x \right)} 
f = -2*cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2cos⁡(2x)=0- 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Solución numérica
x1=−55.7632696012188x_{1} = -55.7632696012188
x2=−98.174770424681x_{2} = -98.174770424681
x3=66.7588438887831x_{3} = 66.7588438887831
x4=−11.7809724509617x_{4} = -11.7809724509617
x5=25.9181393921158x_{5} = 25.9181393921158
x6=−40.0553063332699x_{6} = -40.0553063332699
x7=18.0641577581413x_{7} = 18.0641577581413
x8=−13.3517687777566x_{8} = -13.3517687777566
x9=55.7632696012188x_{9} = 55.7632696012188
x10=−16.4933614313464x_{10} = -16.4933614313464
x11=−49.4800842940392x_{11} = -49.4800842940392
x12=96.6039740978861x_{12} = 96.6039740978861
x13=−41.6261026600648x_{13} = -41.6261026600648
x14=52.621676947629x_{14} = 52.621676947629
x15=76.1836218495525x_{15} = 76.1836218495525
x16=69.9004365423729x_{16} = 69.9004365423729
x17=30.6305283725005x_{17} = 30.6305283725005
x18=85.6083998103219x_{18} = 85.6083998103219
x19=−19.6349540849362x_{19} = -19.6349540849362
x20=−3.92699081698724x_{20} = -3.92699081698724
x21=38.484510006475x_{21} = 38.484510006475
x22=32.2013246992954x_{22} = 32.2013246992954
x23=27.4889357189107x_{23} = 27.4889357189107
x24=1973.70558461779x_{24} = 1973.70558461779
x25=84.037603483527x_{25} = 84.037603483527
x26=−91.8915851175014x_{26} = -91.8915851175014
x27=98.174770424681x_{27} = 98.174770424681
x28=44.7676953136546x_{28} = 44.7676953136546
x29=−85.6083998103219x_{29} = -85.6083998103219
x30=41.6261026600648x_{30} = 41.6261026600648
x31=91.8915851175014x_{31} = 91.8915851175014
x32=−2.35619449019234x_{32} = -2.35619449019234
x33=16.4933614313464x_{33} = 16.4933614313464
x34=46.3384916404494x_{34} = 46.3384916404494
x35=162.577419823272x_{35} = 162.577419823272
x36=63.6172512351933x_{36} = 63.6172512351933
x37=54.1924732744239x_{37} = 54.1924732744239
x38=−84.037603483527x_{38} = -84.037603483527
x39=−93.4623814442964x_{39} = -93.4623814442964
x40=47.9092879672443x_{40} = 47.9092879672443
x41=24.3473430653209x_{41} = 24.3473430653209
x42=−5.49778714378214x_{42} = -5.49778714378214
x43=68.329640215578x_{43} = 68.329640215578
x44=62.0464549083984x_{44} = 62.0464549083984
x45=−68.329640215578x_{45} = -68.329640215578
x46=−38.484510006475x_{46} = -38.484510006475
x47=74.6128255227576x_{47} = 74.6128255227576
x48=5.49778714378214x_{48} = 5.49778714378214
x49=−47.9092879672443x_{49} = -47.9092879672443
x50=40.0553063332699x_{50} = 40.0553063332699
x51=−57.3340659280137x_{51} = -57.3340659280137
x52=49.4800842940392x_{52} = 49.4800842940392
x53=−25.9181393921158x_{53} = -25.9181393921158
x54=−76.1836218495525x_{54} = -76.1836218495525
x55=88.7499924639117x_{55} = 88.7499924639117
x56=99.7455667514759x_{56} = 99.7455667514759
x57=−62.0464549083984x_{57} = -62.0464549083984
x58=−82.4668071567321x_{58} = -82.4668071567321
x59=−71.4712328691678x_{59} = -71.4712328691678
x60=60.4756585816035x_{60} = 60.4756585816035
x61=−33.7721210260903x_{61} = -33.7721210260903
x62=77.7544181763474x_{62} = 77.7544181763474
x63=−46.3384916404494x_{63} = -46.3384916404494
x64=−63.6172512351933x_{64} = -63.6172512351933
x65=−90.3207887907066x_{65} = -90.3207887907066
x66=−35.3429173528852x_{66} = -35.3429173528852
x67=8.63937979737193x_{67} = 8.63937979737193
x68=−10.2101761241668x_{68} = -10.2101761241668
x69=−18.0641577581413x_{69} = -18.0641577581413
x70=−27.4889357189107x_{70} = -27.4889357189107
x71=−54.1924732744239x_{71} = -54.1924732744239
x72=22.776546738526x_{72} = 22.776546738526
x73=3.92699081698724x_{73} = 3.92699081698724
x74=−79.3252145031423x_{74} = -79.3252145031423
x75=−99.7455667514759x_{75} = -99.7455667514759
x76=82.4668071567321x_{76} = 82.4668071567321
x77=33.7721210260903x_{77} = 33.7721210260903
x78=11.7809724509617x_{78} = 11.7809724509617
x79=10.2101761241668x_{79} = 10.2101761241668
x80=19.6349540849362x_{80} = 19.6349540849362
x81=−77.7544181763474x_{81} = -77.7544181763474
x82=−69.9004365423729x_{82} = -69.9004365423729
x83=384.059701901352x_{83} = 384.059701901352
x84=2.35619449019234x_{84} = 2.35619449019234
x85=87.1791961371168x_{85} = 87.1791961371168
x86=−24.3473430653209x_{86} = -24.3473430653209
x87=−60.4756585816035x_{87} = -60.4756585816035
x88=90.3207887907066x_{88} = 90.3207887907066
x89=−32.2013246992954x_{89} = -32.2013246992954
x90=−12461.9126586273x_{90} = -12461.9126586273
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -2*cos(2*x).
−2cos⁡(0⋅2)- 2 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4sin⁡(2x)=04 \sin{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, -2)

 pi    
(--, 2)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
[0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8cos⁡(2x)=08 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π4]∪[3π4,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π4,3π4]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(−2cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -2*cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−2cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2cos⁡(2x)=−2cos⁡(2x)- 2 \cos{\left(2 x \right)} = - 2 \cos{\left(2 x \right)}
- Sí
−2cos⁡(2x)=2cos⁡(2x)- 2 \cos{\left(2 x \right)} = 2 \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = -2*cos(2*x)
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