Sr Examen

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Gráfico de la función y = 3*cos((x-pi)/4)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
            /x - pi\    
f(x) = 3*cos|------| + 1
            \  4   /    
$$f{\left(x \right)} = 3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1$$
f = 3*cos((x - pi)/4) + 1
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \pi - 4 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 4 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + 3 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 86.1823492847409$$
$$x_{2} = -89.7468393162875$$
$$x_{3} = -29.6336815201246$$
$$x_{4} = 61.0496080560226$$
$$x_{5} = -54.766422748843$$
$$x_{6} = -79.8991639775613$$
$$x_{7} = 45.7645421660304$$
$$x_{8} = -4.50094029140628$$
$$x_{9} = -140.012321773724$$
$$x_{10} = 161.580572970896$$
$$x_{11} = -64.6140980875692$$
$$x_{12} = 20.6318009373121$$
$$x_{13} = 96.0300246234671$$
$$x_{14} = 136.447831742178$$
$$x_{15} = -155.297387663716$$
$$x_{16} = -39.4813568588508$$
$$x_{17} = -4980.78370357764$$
$$x_{18} = 70.8972833947488$$
$$x_{19} = -114.879580545006$$
$$x_{20} = -105.03190520628$$
$$x_{21} = 9269.48057310566$$
$$x_{22} = 10.7841255985859$$
$$x_{23} = -190.277804231161$$
$$x_{24} = 35.9168668273042$$
$$x_{25} = -14.3486156301325$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*cos((x - pi)/4) + 1.
$$1 + 3 \cos{\left(\frac{\left(-1\right) \pi}{4} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1 + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$
Punto:
(0, 1 + 3*sqrt(2)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 \sin{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 5 \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
(pi, 4)

(5*pi, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 5 \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[5 \pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\pi, 5 \pi\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{16} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \pi, 3 \pi\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1\right) = \left\langle -2, 4\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1\right) = \left\langle -2, 4\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 4\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos((x - pi)/4) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1 = 3 \cos{\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right)} + 1$$
- No
$$3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1 = - 3 \cos{\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right)} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar