Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3*cos((x-pi)/4)+1

Gráfico de la función y = 3*cos((x-pi)/4)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /x - pi\    
f(x) = 3*cos|------| + 1
            \  4   /
f(x)=3cos⁡(x−π4)+1f{\left(x \right)} = 3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1 
f = 3*cos((x - pi)/4) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3cos⁡(x−π4)+1=03 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π−4asin⁡(13)x_{1} = - \pi - 4 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}
x2=4asin⁡(13)+3πx_{2} = 4 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + 3 \pi
Solución numérica
x1=86.1823492847409x_{1} = 86.1823492847409
x2=−89.7468393162875x_{2} = -89.7468393162875
x3=−29.6336815201246x_{3} = -29.6336815201246
x4=61.0496080560226x_{4} = 61.0496080560226
x5=−54.766422748843x_{5} = -54.766422748843
x6=−79.8991639775613x_{6} = -79.8991639775613
x7=45.7645421660304x_{7} = 45.7645421660304
x8=−4.50094029140628x_{8} = -4.50094029140628
x9=−140.012321773724x_{9} = -140.012321773724
x10=161.580572970896x_{10} = 161.580572970896
x11=−64.6140980875692x_{11} = -64.6140980875692
x12=20.6318009373121x_{12} = 20.6318009373121
x13=96.0300246234671x_{13} = 96.0300246234671
x14=136.447831742178x_{14} = 136.447831742178
x15=−155.297387663716x_{15} = -155.297387663716
x16=−39.4813568588508x_{16} = -39.4813568588508
x17=−4980.78370357764x_{17} = -4980.78370357764
x18=70.8972833947488x_{18} = 70.8972833947488
x19=−114.879580545006x_{19} = -114.879580545006
x20=−105.03190520628x_{20} = -105.03190520628
x21=9269.48057310566x_{21} = 9269.48057310566
x22=10.7841255985859x_{22} = 10.7841255985859
x23=−190.277804231161x_{23} = -190.277804231161
x24=35.9168668273042x_{24} = 35.9168668273042
x25=−14.3486156301325x_{25} = -14.3486156301325
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*cos((x - pi)/4) + 1.
1+3cos⁡((−1)π4)1 + 3 \cos{\left(\frac{\left(-1\right) \pi}{4} \right)}
Resultado:
f(0)=1+322f{\left(0 \right)} = 1 + \frac{3 \sqrt{2}}{2}
Punto:
(0, 1 + 3*sqrt(2)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x−π4)4=0- \frac{3 \sin{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=5πx_{2} = 5 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(pi, 4)

(5*pi, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5πx_{1} = 5 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,π]∪[5π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[5 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π,5π]\left[\pi, 5 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3cos⁡(x−π4)16=0- \frac{3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{16} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−πx_{1} = - \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π]∪[3π,∞)\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π,3π]\left[- \pi, 3 \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3cos⁡(x−π4)+1)=⟨−2,4⟩\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1\right) = \left\langle -2, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,4⟩y = \left\langle -2, 4\right\rangle
lim⁡x→∞(3cos⁡(x−π4)+1)=⟨−2,4⟩\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1\right) = \left\langle -2, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,4⟩y = \left\langle -2, 4\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos((x - pi)/4) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3cos⁡(x−π4)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3cos⁡(x−π4)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3cos⁡(x−π4)+1=3cos⁡(x4+π4)+13 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1 = 3 \cos{\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right)} + 1
- No
3cos⁡(x−π4)+1=−3cos⁡(x4+π4)−13 \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} + 1 = - 3 \cos{\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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