Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -atan(cos(x))

Gráfico de la función y = -atan(cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -atan(cos(x))
f(x)=−atan⁡(cos⁡(x))f{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} 
f = -atan(cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−atan⁡(cos⁡(x))=0- \operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=48.6946861306418x_{1} = 48.6946861306418
x2=92.6769832808989x_{2} = 92.6769832808989
x3=86.3937979737193x_{3} = 86.3937979737193
x4=−7.85398163397448x_{4} = -7.85398163397448
x5=−86.3937979737193x_{5} = -86.3937979737193
x6=1.5707963267949x_{6} = 1.5707963267949
x7=−64.4026493985908x_{7} = -64.4026493985908
x8=−58.1194640914112x_{8} = -58.1194640914112
x9=−83.2522053201295x_{9} = -83.2522053201295
x10=−54.9778714378214x_{10} = -54.9778714378214
x11=54.9778714378214x_{11} = 54.9778714378214
x12=89.5353906273091x_{12} = 89.5353906273091
x13=−20.4203522483337x_{13} = -20.4203522483337
x14=32.9867228626928x_{14} = 32.9867228626928
x15=−17.2787595947439x_{15} = -17.2787595947439
x16=23.5619449019235x_{16} = 23.5619449019235
x17=−45.553093477052x_{17} = -45.553093477052
x18=64.4026493985908x_{18} = 64.4026493985908
x19=45.553093477052x_{19} = 45.553093477052
x20=83.2522053201295x_{20} = 83.2522053201295
x21=−29.845130209103x_{21} = -29.845130209103
x22=−51.8362787842316x_{22} = -51.8362787842316
x23=80.1106126665397x_{23} = 80.1106126665397
x24=−39.2699081698724x_{24} = -39.2699081698724
x25=−92.6769832808989x_{25} = -92.6769832808989
x26=4.71238898038469x_{26} = 4.71238898038469
x27=70.6858347057703x_{27} = 70.6858347057703
x28=36.1283155162826x_{28} = 36.1283155162826
x29=−70.6858347057703x_{29} = -70.6858347057703
x30=−48.6946861306418x_{30} = -48.6946861306418
x31=42.4115008234622x_{31} = 42.4115008234622
x32=−42.4115008234622x_{32} = -42.4115008234622
x33=−67.5442420521806x_{33} = -67.5442420521806
x34=10.9955742875643x_{34} = 10.9955742875643
x35=98.9601685880785x_{35} = 98.9601685880785
x36=−23.5619449019235x_{36} = -23.5619449019235
x37=20.4203522483337x_{37} = 20.4203522483337
x38=−61.261056745001x_{38} = -61.261056745001
x39=−10.9955742875643x_{39} = -10.9955742875643
x40=17.2787595947439x_{40} = 17.2787595947439
x41=−95.8185759344887x_{41} = -95.8185759344887
x42=−36.1283155162826x_{42} = -36.1283155162826
x43=61.261056745001x_{43} = 61.261056745001
x44=73.8274273593601x_{44} = 73.8274273593601
x45=14.1371669411541x_{45} = 14.1371669411541
x46=−26.7035375555132x_{46} = -26.7035375555132
x47=51.8362787842316x_{47} = 51.8362787842316
x48=−89.5353906273091x_{48} = -89.5353906273091
x49=39.2699081698724x_{49} = 39.2699081698724
x50=−32.9867228626928x_{50} = -32.9867228626928
x51=−14.1371669411541x_{51} = -14.1371669411541
x52=−4.71238898038469x_{52} = -4.71238898038469
x53=−76.9690200129499x_{53} = -76.9690200129499
x54=95.8185759344887x_{54} = 95.8185759344887
x55=76.9690200129499x_{55} = 76.9690200129499
x56=105.243353895258x_{56} = 105.243353895258
x57=58.1194640914112x_{57} = 58.1194640914112
x58=−80.1106126665397x_{58} = -80.1106126665397
x59=−73.8274273593601x_{59} = -73.8274273593601
x60=7.85398163397448x_{60} = 7.85398163397448
x61=−1.5707963267949x_{61} = -1.5707963267949
x62=29.845130209103x_{62} = 29.845130209103
x63=67.5442420521806x_{63} = 67.5442420521806
x64=26.7035375555132x_{64} = 26.7035375555132
x65=−98.9601685880785x_{65} = -98.9601685880785
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -atan(cos(x)).
−atan⁡(cos⁡(0))- \operatorname{atan}{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=−π4f{\left(0 \right)} = - \frac{\pi}{4}
Punto:
(0, -pi/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)cos⁡2(x)+1=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
    -pi  
(0, ----)
     4   

     pi 
(pi, --)
     4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+2sin⁡2(x)cos⁡2(x)+1)cos⁡(x)cos⁡2(x)+1=0\frac{\left(1 + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−atan⁡(cos⁡(x)))=−atan⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty}\left(- \operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) = - \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−atan⁡(⟨−1,1⟩)y = - \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞(−atan⁡(cos⁡(x)))=−atan⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty}\left(- \operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) = - \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−atan⁡(⟨−1,1⟩)y = - \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -atan(cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−atan⁡(cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−atan⁡(cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−atan⁡(cos⁡(x))=−atan⁡(cos⁡(x))- \operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}
- Sí
−atan⁡(cos⁡(x))=atan⁡(cos⁡(x))- \operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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