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Trazado el gráfico de la función/ cos(x)/2-exp(x)-sin(x)/2+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(-x/2)

Gráfico de la función y = cos(x)/2-exp(x)-sin(x)/2+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(-x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                                               -x 
                              /     /    ___\      /    ___\\  ---
       cos(x)    x   sin(x)   |     |x*\/ 3 |      |x*\/ 3 ||   2 
f(x) = ------ - e  - ------ + |- cos|-------| - sin|-------||*e   
         2             2      \     \   2   /      \   2   //
f(x)=((−ex+cos⁡(x)2)−sin⁡(x)2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2f{\left(x \right)} = \left(\left(- e^{x} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right) - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} 
f = -exp(x) + cos(x)/2 - sin(x)/2 + (-sin((sqrt(3)*x)/2) - cos((sqrt(3)*x)/2))*exp((-x)/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)/2 - exp(x) - sin(x)/2 + (-cos((x*sqrt(3))/2) - sin((x*sqrt(3))/2))*exp((-x)/2).
(−cos⁡(032)−sin⁡(032))e(−1)02+((−e0+cos⁡(0)2)−sin⁡(0)2)\left(- \cos{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{2} \right)} - \sin{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 0}{2}} + \left(\left(- e^{0} + \frac{\cos{\left(0 \right)}}{2}\right) - \frac{\sin{\left(0 \right)}}{2}\right)
Resultado:
f(0)=−32f{\left(0 \right)} = - \frac{3}{2}
Punto:
(0, -3/2)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e−x22+(sin⁡(3x2)+cos⁡(3x2))e−x22−ex+sin⁡(x)2−cos⁡(x)2=0- \frac{\sqrt{3} \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}}{2} + \frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}}{2} - e^{x} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−34.7644878008333x_{1} = -34.7644878008333
x2=−42.0196852710257x_{2} = -42.0196852710257
x3=−31.1368890375042x_{3} = -31.1368890375042
x4=−45.6472839998494x_{4} = -45.6472839998494
x5=−5.75202810001975x_{5} = -5.75202810001975
x6=−27.5092903450639x_{6} = -27.5092903450639
x7=−56.5300801853x_{7} = -56.5300801853
x8=−52.9024814568319x_{8} = -52.9024814568319
x9=−23.8816933189226x_{9} = -23.8816933189226
x10=−20.2541116996436x_{10} = -20.2541116996436
x11=−16.626634499764x_{11} = -16.626634499764
x12=−60.1576789137683x_{12} = -60.1576789137683
x13=−9.3748638889904x_{13} = -9.3748638889904
x14=−38.39208654031x_{14} = -38.39208654031
x15=−0.0917393102811549x_{15} = -0.0917393102811549
x16=−12.9997103360051x_{16} = -12.9997103360051
x17=−49.2748827283606x_{17} = -49.2748827283606
x18=−2.00170218534646x_{18} = -2.00170218534646
x19=−63.7852776422367x_{19} = -63.7852776422367

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2.00170218534646,∞)\left[-2.00170218534646, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−60.1576789137683]\left(-\infty, -60.1576789137683\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((−ex+cos⁡(x)2)−sin⁡(x)2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(- e^{x} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right) - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞(((−ex+cos⁡(x)2)−sin⁡(x)2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(- e^{x} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right) - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)/2 - exp(x) - sin(x)/2 + (-cos((x*sqrt(3))/2) - sin((x*sqrt(3))/2))*exp((-x)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(((−ex+cos⁡(x)2)−sin⁡(x)2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(- e^{x} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right) - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}}{x}\right)
lim⁡x→∞(((−ex+cos⁡(x)2)−sin⁡(x)2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(- e^{x} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right) - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((−ex+cos⁡(x)2)−sin⁡(x)2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2=(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2+sin⁡(x)2+cos⁡(x)2−e−x\left(\left(- e^{x} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right) - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} = \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} - e^{- x}
- No
((−ex+cos⁡(x)2)−sin⁡(x)2)+(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2=−(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2−sin⁡(x)2−cos⁡(x)2+e−x\left(\left(- e^{x} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right) - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} = - \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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