Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (sin(x))^(cos(x))

Gráfico de la función y = (sin(x))^(cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          cos(x)   
f(x) = sin      (x)
f(x)=sin⁡cos⁡(x)(x)f{\left(x \right)} = \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)} 
f = sin(x)^cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡cos⁡(x)(x)=0\sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−1105.84061406361x_{1} = -1105.84061406361
x2=37.6991118430775x_{2} = 37.6991118430775
x3=−69.1150383789755x_{3} = -69.1150383789755
x4=−43.9822971502571x_{4} = -43.9822971502571
x5=−87.9645943005142x_{5} = -87.9645943005142
x6=0x_{6} = 0
x7=100.530964914873x_{7} = 100.530964914873
x8=−50.2654824574367x_{8} = -50.2654824574367
x9=−94.2477796076938x_{9} = -94.2477796076938
x10=69.1150383789755x_{10} = 69.1150383789755
x11=56.5486677646163x_{11} = 56.5486677646163
x12=873.362757697962x_{12} = 873.362757697962
x13=62.8318530717959x_{13} = 62.8318530717959
x14=81.6814089933346x_{14} = 81.6814089933346
x15=43.9822971502571x_{15} = 43.9822971502571
x16=−62.8318530717959x_{16} = -62.8318530717959
x17=−12.5663706143592x_{17} = -12.5663706143592
x18=−56.5486677646163x_{18} = -56.5486677646163
x19=87.9645943005142x_{19} = 87.9645943005142
x20=−100.530964914873x_{20} = -100.530964914873
x21=12.5663706143592x_{21} = 12.5663706143592
x22=18.8495559215388x_{22} = 18.8495559215388
x23=25.1327412287183x_{23} = 25.1327412287183
x24=6.28318530717959x_{24} = 6.28318530717959
x25=−31.4159265358979x_{25} = -31.4159265358979
x26=−6.28318530717959x_{26} = -6.28318530717959
x27=50.2654824574367x_{27} = 50.2654824574367
x28=−37.6991118430775x_{28} = -37.6991118430775
x29=−18.8495559215388x_{29} = -18.8495559215388
x30=31.4159265358979x_{30} = 31.4159265358979
x31=94.2477796076938x_{31} = 94.2477796076938
x32=75.398223686155x_{32} = 75.398223686155
x33=−75.398223686155x_{33} = -75.398223686155
x34=−81.6814089933346x_{34} = -81.6814089933346
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^cos(x).
sin⁡cos⁡(0)(0)\sin^{\cos{\left(0 \right)}}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−log⁡(sin⁡(x))sin⁡(x)+cos⁡2(x)sin⁡(x))sin⁡cos⁡(x)(x)=0\left(- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−73.8274272796273x_{1} = -73.8274272796273
x2=83.2522060174281x_{2} = 83.2522060174281
x3=58.1194644913035x_{3} = 58.1194644913035
x4=64.4026493077168x_{4} = 64.4026493077168
x5=70.6858345010191x_{5} = 70.6858345010191
x6=39.269908832875x_{6} = 39.269908832875
x7=−4.71238834954501x_{7} = -4.71238834954501
x8=7.85398174588097x_{8} = 7.85398174588097
x9=1.57079662422981x_{9} = 1.57079662422981
x10=45.5530927881641x_{10} = 45.5530927881641
x11=−23.5619450104848x_{11} = -23.5619450104848
x12=51.8362789068561x_{12} = 51.8362789068561
x13=−54.9778715404864x_{13} = -54.9778715404864
x14=95.818576067731x_{14} = 95.818576067731
x15=−10.9955744178413x_{15} = -10.9955744178413
x16=−29.845130094584x_{16} = -29.845130094584
x17=−42.4115005398944x_{17} = -42.4115005398944
x18=89.5353901842161x_{18} = 89.5353901842161
x19=26.7035373464279x_{19} = 26.7035373464279
x20=32.9867227103683x_{20} = 32.9867227103683
x21=14.1371671180334x_{21} = 14.1371671180334
x22=45.5530937888778x_{22} = 45.5530937888778
x23=−92.6769827087217x_{23} = -92.6769827087217
x24=89.5353909540946x_{24} = 89.5353909540946
x25=−86.3937977035373x_{25} = -86.3937977035373
x26=−98.9601686560198x_{26} = -98.9601686560198
x27=76.9690198429979x_{27} = 76.9690198429979
x28=20.4203521485073x_{28} = 20.4203521485073
x29=−61.261056961249x_{29} = -61.261056961249
x30=−80.110612576689x_{30} = -80.110612576689
x31=−48.694685530021x_{31} = -48.694685530021
x32=−36.1283154152694x_{32} = -36.1283154152694
x33=−67.544242169264x_{33} = -67.544242169264
x34=−17.2787598076759x_{34} = -17.2787598076759
Signos de extremos en los puntos:
(-73.82742727962729, 1)

(83.25220601742807, 1)

(58.119464491303454, 1)

(64.40264930771681, 1)

(70.68583450101914, 1)

(39.269908832875, 1)

(-4.7123883495450105, 1)

(7.853981745880966, 1)

(1.5707966242298101, 1)

(45.55309278816412, 1)

(-23.561945010484763, 1)

(51.83627890685612, 1)

(-54.97787154048637, 1)

(95.81857606773102, 1)

(-10.995574417841343, 1)

(-29.845130094584036, 1)

(-42.411500539894384, 1)

(89.53539018421606, 1)

(26.703537346427865, 1)

(32.98672271036834, 1)

(14.137167118033418, 1)

(45.553093788877845, 1)

(-92.67698270872174, 1)

(89.5353909540946, 1)

(-86.3937977035373, 1)

(-98.96016865601983, 1)

(76.96901984299792, 1)

(20.420352148507256, 1)

(-61.26105696124897, 1)

(-80.11061257668896, 1)

(-48.694685530021, 1)

(-36.12831541526945, 1)

(-67.54424216926397, 1)

(-17.278759807675886, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡cos⁡(x)(x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡cos⁡(x)(x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(sin⁡cos⁡(x)(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(sin⁡cos⁡(x)(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡cos⁡(x)(x)=(−sin⁡(x))cos⁡(x)\sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = \left(- \sin{\left(x \right)}\right)^{\cos{\left(x \right)}}
- No
sin⁡cos⁡(x)(x)=−(−sin⁡(x))cos⁡(x)\sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = - \left(- \sin{\left(x \right)}\right)^{\cos{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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