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(sin(2*x)-cos(2*x)+1)/(sin(2*x)+cos(2*x)-1)>=0
Resolver desigualdades/ (sin(2*x)-cos(2*x)+1)/(sin(2*x)+cos(2*x)-1)>=0

(sin(2*x)-cos(2*x)+1)/(sin(2*x)+cos(2*x)-1)>=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
sin(2*x) - cos(2*x) + 1     
----------------------- >= 0
sin(2*x) + cos(2*x) - 1
(sin⁡(2x)−cos⁡(2x))+1(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))−1≥0\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) + 1}{\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) - 1} \geq 0 
(sin(2*x) - cos(2*x) + 1)/(sin(2*x) + cos(2*x) - 1) >= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
(sin⁡(2x)−cos⁡(2x))+1(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))−1≥0\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) + 1}{\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) - 1} \geq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
(sin⁡(2x)−cos⁡(2x))+1(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))−1=0\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) + 1}{\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) - 1} = 0
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
(sin⁡(2x)−cos⁡(2x))+1(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))−1=0\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) + 1}{\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) - 1} = 0
cambiamos
−2cos⁡(2x)sin⁡(2x+π4)=0- \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}} = 0
sin⁡(2x)−2cos⁡2(x)+1sin⁡(2x)+2cos⁡2(x)−1−1=0\frac{\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1} - 1 = 0
Sustituimos
w=cos⁡(x)w = \cos{\left(x \right)}
Tenemos la ecuación:
−2w2+sin⁡(2x)+12w2+sin⁡(2x)−1−1=0\frac{- 2 w^{2} + \sin{\left(2 x \right)} + 1}{2 w^{2} + \sin{\left(2 x \right)} - 1} - 1 = 0
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
-1 + 2*w^2 + sin(2*x)
obtendremos:
(−2w2+sin⁡(2x)+12w2+sin⁡(2x)−1−1)(2w2+sin⁡(2x)−1)=0\left(\frac{- 2 w^{2} + \sin{\left(2 x \right)} + 1}{2 w^{2} + \sin{\left(2 x \right)} - 1} - 1\right) \left(2 w^{2} + \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) = 0
2−4w2=02 - 4 w^{2} = 0
Es la ecuación de la forma
a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
w1=D−b2aw_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
w2=−D−b2aw_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=−4a = -4
b=0b = 0
c=2c = 2
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-4) * (2) = 32

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
w1=−22w_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
w2=22w_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}
hacemos cambio inverso
cos⁡(x)=w\cos{\left(x \right)} = w
Tenemos la ecuación
cos⁡(x)=w\cos{\left(x \right)} = w
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x=πn+acos⁡(w)x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}
x=πn+acos⁡(w)−πx = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi
O
x=πn+acos⁡(w)x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}
x=πn+acos⁡(w)−πx = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
x1=πn+acos⁡(w1)x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}
x1=πn+acos⁡(−22)x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x1=πn+3π4x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}
x2=πn+acos⁡(w2)x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}
x2=πn+acos⁡(22)x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x2=πn+π4x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{4}
x3=πn+acos⁡(w1)−πx_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi
x3=πn−π+acos⁡(−22)x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x3=πn−π4x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{4}
x4=πn+acos⁡(w2)−πx_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi
x4=πn−π+acos⁡(22)x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x4=πn−3π4x_{4} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Las raíces dadas
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−π4−110- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}
=
−π4−110- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
(sin⁡(2x)−cos⁡(2x))+1(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))−1≥0\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) + 1}{\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) - 1} \geq 0
(sin⁡(2(−π4−110))−cos⁡(2(−π4−110)))+1(sin⁡(2(−π4−110))+cos⁡(2(−π4−110)))−1≥0\frac{\left(\sin{\left(2 \left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}\right) \right)} - \cos{\left(2 \left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}\right) \right)}\right) + 1}{\left(\sin{\left(2 \left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}\right) \right)} + \cos{\left(2 \left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}\right) \right)}\right) - 1} \geq 0
1 - cos(1/5) + sin(1/5)      
------------------------ >= 0
-1 - cos(1/5) - sin(1/5)

pero
1 - cos(1/5) + sin(1/5)     
------------------------ < 0
-1 - cos(1/5) - sin(1/5)

Entonces
x≤−π4x \leq - \frac{\pi}{4}
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
x≥−π4x \geq - \frac{\pi}{4}
         _____  
        /
-------•-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-80-60-40-2020406080-2000020000
Respuesta rápida [src] 
  /   /           pi\     /3*pi             \\
Or|And|0 < x, x < --|, And|---- <= x, x < pi||
  \   \           4 /     \ 4               //
(0<x∧x<π4)∨(3π4≤x∧x<π)\left(0 < x \wedge x < \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{4} \leq x \wedge x < \pi\right) 
((0 < x)∧(x < pi/4))∨((x < pi)∧(3*pi/4 <= x))
Respuesta rápida 2 [src] 
    pi     3*pi     
(0, --) U [----, pi)
    4       4
x in (0,π4)∪[3π4,π)x\ in\ \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \pi\right) 
x in Union(Interval.open(0, pi/4), Interval.Ropen(3*pi/4, pi))
Gráfico
(sin(2*x)-cos(2*x)+1)/(sin(2*x)+cos(2*x)-1)>=0 desigualdades
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