(sin(2*x)-cos(2*x)+1)/(sin(2*x)+cos(2*x)-1)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) + 1}{\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) - 1} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) + 1}{\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) - 1} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) + 1}{\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) - 1} = 0$$
cambiamos
$$- \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}} = 0$$
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación:
$$\frac{- 2 w^{2} + \sin{\left(2 x \right)} + 1}{2 w^{2} + \sin{\left(2 x \right)} - 1} - 1 = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
-1 + 2*w^2 + sin(2*x)
obtendremos:
$$\left(\frac{- 2 w^{2} + \sin{\left(2 x \right)} + 1}{2 w^{2} + \sin{\left(2 x \right)} - 1} - 1\right) \left(2 w^{2} + \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) = 0$$
$$2 - 4 w^{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = 0$$
$$c = 2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-4) * (2) = 32

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) + 1}{\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) - 1} \geq 0$$
$$\frac{\left(\sin{\left(2 \left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}\right) \right)} - \cos{\left(2 \left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}\right) \right)}\right) + 1}{\left(\sin{\left(2 \left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}\right) \right)} + \cos{\left(2 \left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}\right) \right)}\right) - 1} \geq 0$$

1 - cos(1/5) + sin(1/5)      
------------------------ >= 0
-1 - cos(1/5) - sin(1/5)     

pero

1 - cos(1/5) + sin(1/5)     
------------------------ < 0
-1 - cos(1/5) - sin(1/5)    

Entonces
$$x \leq - \frac{\pi}{4}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq - \frac{\pi}{4}$$

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       x1