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sin(x/2)<-1/2

sin(x/2)<-1/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
   /x\       
sin|-| < -1/2
   \2/       
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < - \frac{1}{2}$$
sin(x/2) < -1/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < - \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{1}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{7 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 4 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{7 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{7 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(4 \pi n - \frac{\pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < - \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(\frac{4 \pi n - \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}}{2} \right)} < - \frac{1}{2}$$
    /1    pi         \       
-sin|-- + -- - 2*pi*n| < -1/2
    \20   6          /       

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 4 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 4 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x > 4 \pi n + \frac{7 \pi}{3}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src]
   /7*pi          11*pi\
And|---- < x, x < -----|
   \ 3              3  /
$$\frac{7 \pi}{3} < x \wedge x < \frac{11 \pi}{3}$$
(7*pi/3 < x)∧(x < 11*pi/3)
Respuesta rápida 2 [src]
 7*pi  11*pi 
(----, -----)
  3      3   
$$x\ in\ \left(\frac{7 \pi}{3}, \frac{11 \pi}{3}\right)$$
x in Interval.open(7*pi/3, 11*pi/3)
Gráfico
sin(x/2)<-1/2 desigualdades