Sr Examen

ctg(2x)<=1 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
cot(2*x) <= 1
$$\cot{\left(2 x \right)} \leq 1$$
cot(2*x) <= 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cot{\left(2 x \right)} \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cot{\left(2 x \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cot{\left(2 x \right)} = 1$$
cambiamos
$$\cot{\left(2 x \right)} - 1 = 0$$
$$\cot{\left(2 x \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cot{\left(2 x \right)}$$
Transportamos los términos libres (sin w)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$w = 1$$
Obtenemos la respuesta: w = 1
hacemos cambio inverso
$$\cot{\left(2 x \right)} = w$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cot{\left(2 x \right)} \leq 1$$
$$\cot{\left(2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}\right) \right)} \leq 1$$
   /1   pi\     
tan|- + --| <= 1
   \5   4 /     

pero
   /1   pi\     
tan|- + --| >= 1
   \5   4 /     

Entonces
$$x \leq \frac{\pi}{8}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{\pi}{8}$$
         _____  
        /
-------•-------
       x1
Respuesta rápida [src]
   /    /   ___________\             \
   |    |  /       ___ |             |
   |    |\/  2 - \/ 2  |           pi|
And|atan|--------------| <= x, x < --|
   |    |   ___________|           2 |
   |    |  /       ___ |             |
   \    \\/  2 + \/ 2  /             /
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} \leq x \wedge x < \frac{\pi}{2}$$
(x < pi/2)∧(atan(sqrt(2 - sqrt(2))/sqrt(2 + sqrt(2))) <= x)
Respuesta rápida 2 [src]
     /   ___________\     
     |  /       ___ |     
     |\/  2 - \/ 2  |  pi 
[atan|--------------|, --)
     |   ___________|  2  
     |  /       ___ |     
     \\/  2 + \/ 2  /     
$$x\ in\ \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}, \frac{\pi}{2}\right)$$
x in Interval.Ropen(atan(sqrt(2 - sqrt(2))/sqrt(sqrt(2) + 2)), pi/2)