sin(1/2x)>=sqrt2/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(4 \pi n + \frac{\pi}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\frac{4 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}}{2} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$

                             ___
   /  1    pi         \    \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| >= -----
   \  20   4          /      2  
                           

pero

                            ___
   /  1    pi         \   \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| < -----
   \  20   4          /     2  
                          

Entonces
$$x \leq 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 4 \pi n + \frac{\pi}{2} \wedge x \leq 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2