log(2x+1)<3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(2 x + 1 \right)} < 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(2 x + 1 \right)} = 3$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\log{\left(2 x + 1 \right)} = 3$$
$$\log{\left(2 x + 1 \right)} = 3$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$2 x + 1 = e^{\frac{3}{1}}$$
simplificamos
$$2 x + 1 = e^{3}$$
$$2 x = -1 + e^{3}$$
$$x = - \frac{1}{2} + \frac{e^{3}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{e^{3}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{e^{3}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{e^{3}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(- \frac{1}{2} + \frac{e^{3}}{2}\right)$$
=
$$- \frac{3}{5} + \frac{e^{3}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(2 x + 1 \right)} < 3$$
$$\log{\left(1 + 2 \left(- \frac{3}{5} + \frac{e^{3}}{2}\right) \right)} < 3$$

   /  1    3\    
log|- - + e | < 3
   \  5     /    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < - \frac{1}{2} + \frac{e^{3}}{2}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1