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Resolver desigualdades/ ln(1+x)<=1

ln(1+x)<=1 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
log(1 + x) <= 1
log⁡(x+1)≤1\log{\left(x + 1 \right)} \leq 1 
log(x + 1) <= 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
log⁡(x+1)≤1\log{\left(x + 1 \right)} \leq 1
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
log⁡(x+1)=1\log{\left(x + 1 \right)} = 1
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
log⁡(x+1)=1\log{\left(x + 1 \right)} = 1
log⁡(x+1)=1\log{\left(x + 1 \right)} = 1
Es la ecuación de la forma:
log(v)=p

Por definición log
v=e^p

entonces
x+1=e1−1x + 1 = e^{1^{-1}}
simplificamos
x+1=ex + 1 = e
x=−1+ex = -1 + e
x1=−1+ex_{1} = -1 + e
x1=−1+ex_{1} = -1 + e
Las raíces dadas
x1=−1+ex_{1} = -1 + e
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110+(−1+e)- \frac{1}{10} + \left(-1 + e\right)
=
−1110+e- \frac{11}{10} + e
lo sustituimos en la expresión
log⁡(x+1)≤1\log{\left(x + 1 \right)} \leq 1
log⁡(1+(−1110+e))≤1\log{\left(1 + \left(- \frac{11}{10} + e\right) \right)} \leq 1
log(-1/10 + E) <= 1

significa que la solución de la desigualdad será con:
x≤−1+ex \leq -1 + e
 _____          
      \    
-------•-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
0123456-5-4-3-2-1-1010
Respuesta rápida [src] 
And(x <= -1 + E, -1 < x)
x≤−1+e∧−1<xx \leq -1 + e \wedge -1 < x 
(-1 < x)∧(x <= -1 + E)
Respuesta rápida 2 [src] 
(-1, -1 + E]
x in (−1,−1+e]x\ in\ \left(-1, -1 + e\right] 
x in Interval.Lopen(-1, -1 + E)
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