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Resolver desigualdades/ sin(x)+cos(2*x)>=0

sin(x)+cos(2*x)>=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
sin(x) + cos(2*x) >= 0
sin⁡(x)+cos⁡(2x)≥0\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \geq 0 
sin(x) + cos(2*x) >= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(x)+cos⁡(2x)≥0\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \geq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(x)+cos⁡(2x)=0\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin⁡(x)+cos⁡(2x)=0\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0
cambiamos
sin⁡(x)+cos⁡(2x)=0\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0
−2sin⁡2(x)+sin⁡(x)+1=0- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 1 = 0
Sustituimos
w=sin⁡(x)w = \sin{\left(x \right)}
Es la ecuación de la forma
a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
w1=D−b2aw_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
w2=−D−b2aw_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=−2a = -2
b=1b = 1
c=1c = 1
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-2) * (1) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
w1=−12w_{1} = - \frac{1}{2}
w2=1w_{2} = 1
hacemos cambio inverso
sin⁡(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
Tenemos la ecuación
sin⁡(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x=2πn+asin⁡(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
x=2πn−asin⁡(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
O
x=2πn+asin⁡(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
x=2πn−asin⁡(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
x1=2πn+asin⁡(w1)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}
x1=2πn+asin⁡(−12)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}
x1=2πn−π6x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}
x2=2πn+asin⁡(w2)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}
x2=2πn+asin⁡(1)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(1 \right)}
x2=2πn+π2x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}
x3=2πn−asin⁡(w1)+πx_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi
x3=2πn−asin⁡(−12)+πx_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi
x3=2πn+7π6x_{3} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}
x4=2πn−asin⁡(w2)+πx_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi
x4=2πn−asin⁡(1)+πx_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(1 \right)} + \pi
x4=2πn+π2x_{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π6x_{2} = - \frac{\pi}{6}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π6x_{2} = - \frac{\pi}{6}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Las raíces dadas
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π6x_{2} = - \frac{\pi}{6}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−5π6−110- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10}
=
−5π6−110- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(x)+cos⁡(2x)≥0\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \geq 0
sin⁡(−5π6−110)+cos⁡(2(−5π6−110))≥0\sin{\left(- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} + \cos{\left(2 \left(- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10}\right) \right)} \geq 0
     /1    pi\      /1   pi\     
- cos|-- + --| + sin|- + --| >= 0
     \10   3 /      \5   6 /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≤−5π6x \leq - \frac{5 \pi}{6}
 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≤−5π6x \leq - \frac{5 \pi}{6}
x≥−π6∧x≤π2x \geq - \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{\pi}{2}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-60-50-40-30-20-101020304050605-5
Respuesta rápida [src] 
  /   /             7*pi\     /11*pi                \\
Or|And|0 <= x, x <= ----|, And|----- <= x, x <= 2*pi||
  \   \              6  /     \  6                  //
(0≤x∧x≤7π6)∨(11π6≤x∧x≤2π)\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{7 \pi}{6}\right) \vee \left(\frac{11 \pi}{6} \leq x \wedge x \leq 2 \pi\right) 
((0 <= x)∧(x <= 7*pi/6))∨((11*pi/6 <= x)∧(x <= 2*pi))
Respuesta rápida 2 [src] 
    7*pi     11*pi       
[0, ----] U [-----, 2*pi]
     6         6
x in [0,7π6]∪[11π6,2π]x\ in\ \left[0, \frac{7 \pi}{6}\right] \cup \left[\frac{11 \pi}{6}, 2 \pi\right] 
x in Union(Interval(0, 7*pi/6), Interval(11*pi/6, 2*pi))
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