Integral de (arcsin√x)/(√(1-x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 u \operatorname{asin}{\left(u \right)}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u \operatorname{asin}{\left(u \right)}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du = 2 \int \frac{u \operatorname{asin}{\left(u \right)}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \operatorname{asin}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 1 - u^{2}$.

               Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \sqrt{1 - u^{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, du = - u$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u - 2 \sqrt{1 - u^{2}} \operatorname{asin}{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{1 - x} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \sqrt{x} \sqrt{1 - x}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 1 - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 2 \sqrt{1 - x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{1 - x} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{1 - x} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}+ \mathrm{constant}$