Integral de sqrt(2/pi)sqrt(arctg(2x))/(1+4x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{4 x^{2} + 1}$ y ponemos $\frac{\sqrt{2} du}{2 \sqrt{\pi}}$:

      $\int \frac{\sqrt{2} \sqrt{u}}{2 \sqrt{\pi}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\sqrt{2} \int \sqrt{u}\, du}{2 \sqrt{\pi}}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} u^{\frac{3}{2}}}{3 \sqrt{\pi}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}^{\frac{3}{2}}{\left(2 x \right)}}{3 \sqrt{\pi}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{\frac{2}{\pi}} \sqrt{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}}{4 x^{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}}{4 \sqrt{\pi} x^{2} + \sqrt{\pi}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{2} \sqrt{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}}{4 \sqrt{\pi} x^{2} + \sqrt{\pi}}\, dx = \sqrt{2} \int \frac{\sqrt{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}}{4 \sqrt{\pi} x^{2} + \sqrt{\pi}}\, dx$

      1. que $u = \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{2 dx}{4 x^{2} + 1}$ y ponemos $\frac{du}{2 \sqrt{\pi}}$:

         $\int \frac{\sqrt{u}}{2 \sqrt{\pi}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2 \sqrt{\pi}}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3 \sqrt{\pi}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\operatorname{atan}^{\frac{3}{2}}{\left(2 x \right)}}{3 \sqrt{\pi}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}^{\frac{3}{2}}{\left(2 x \right)}}{3 \sqrt{\pi}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{\frac{2}{\pi}} \sqrt{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}}{4 x^{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}}{4 \sqrt{\pi} x^{2} + \sqrt{\pi}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{2} \sqrt{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}}{4 \sqrt{\pi} x^{2} + \sqrt{\pi}}\, dx = \sqrt{2} \int \frac{\sqrt{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}}{4 \sqrt{\pi} x^{2} + \sqrt{\pi}}\, dx$

      1. que $u = \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{2 dx}{4 x^{2} + 1}$ y ponemos $\frac{du}{2 \sqrt{\pi}}$:

         $\int \frac{\sqrt{u}}{2 \sqrt{\pi}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2 \sqrt{\pi}}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3 \sqrt{\pi}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\operatorname{atan}^{\frac{3}{2}}{\left(2 x \right)}}{3 \sqrt{\pi}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}^{\frac{3}{2}}{\left(2 x \right)}}{3 \sqrt{\pi}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}^{\frac{3}{2}}{\left(2 x \right)}}{3 \sqrt{\pi}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}^{\frac{3}{2}}{\left(2 x \right)}}{3 \sqrt{\pi}}+ \mathrm{constant}$