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Resolución de integrales/ 2^lnx/ sqrt2/ lnx/x/ sqrt2^lnx/x

Integral de sqrt2^lnx/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |       log(x)   
 |    ___         
 |  \/ 2          
 |  ----------- dx
 |       x        
 |                
/                 
0
∫01(2)log⁡(x)x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{\log{\left(x \right)}}}{x}\, dx 
Integral((sqrt(2))^log(x)/x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=(2)log⁡(x)u = \left(\sqrt{2}\right)^{\log{\left(x \right)}}.

      Luego que du=2log⁡(x)2log⁡(2)dxxdu = \frac{2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2}} \log{\left(\sqrt{2} \right)} dx}{x} y ponemos 2dulog⁡(2)\frac{2 du}{\log{\left(2 \right)}}:

      ∫2log⁡(2) du\int \frac{2}{\log{\left(2 \right)}}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫1 du=2∫1 dulog⁡(2)\int 1\, du = \frac{2 \int 1\, du}{\log{\left(2 \right)}}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        Por lo tanto, el resultado es: 2ulog⁡(2)\frac{2 u}{\log{\left(2 \right)}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2⋅2log⁡(x)2log⁡(2)\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}

    Método #2

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫2u2 du\int 2^{\frac{u}{2}}\, du

      1. que u=u2u = \frac{u}{2}.

        Luego que du=du2du = \frac{du}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2⋅2u du\int 2 \cdot 2^{u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2u du=2∫2u du\int 2^{u}\, du = 2 \int 2^{u}\, du

          1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            ∫2u du=2ulog⁡(2)\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}

          Por lo tanto, el resultado es: 2⋅2ulog⁡(2)\frac{2 \cdot 2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2⋅2u2log⁡(2)\frac{2 \cdot 2^{\frac{u}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2⋅2log⁡(x)2log⁡(2)\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}

    Método #3

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−2log⁡(1u)2u) du\int \left(- \frac{2^{\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{2}}}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2log⁡(1u)2u du=−∫2log⁡(1u)2u du\int \frac{2^{\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{2}}}{u}\, du = - \int \frac{2^{\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{2}}}{u}\, du

        1. que u=log⁡(1u)2u = \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{2}.

          Luego que du=−du2udu = - \frac{du}{2 u} y ponemos −2du- 2 du:

          ∫(−2⋅2u) du\int \left(- 2 \cdot 2^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2u du=−2∫2u du\int 2^{u}\, du = - 2 \int 2^{u}\, du

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

              ∫2u du=2ulog⁡(2)\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}

            Por lo tanto, el resultado es: −2⋅2ulog⁡(2)- \frac{2 \cdot 2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2⋅2log⁡(1u)2log⁡(2)- \frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: 2⋅2log⁡(1u)2log⁡(2)\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2⋅2log⁡(x)2log⁡(2)\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}

  2. Ahora simplificar:

    2log⁡(x)2+1log⁡(2)\frac{2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2log⁡(x)2+1log⁡(2)+constant\frac{2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2log⁡(x)2+1log⁡(2)+constant\frac{2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                              
 |                         log(x)
 |      log(x)             ------
 |   ___                     2   
 | \/ 2                 2*2      
 | ----------- dx = C + ---------
 |      x                 log(2) 
 |                               
/
∫(2)log⁡(x)x dx=2⋅2log⁡(x)2log⁡(2)+C\int \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{\log{\left(x \right)}}}{x}\, dx = \frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2}}}{\log{\left(2 \right)}} + C
Simplificar
Respuesta [src] 
  2   
------
log(2)
2log⁡(2)\frac{2}{\log{\left(2 \right)}} 
=
= 
  2   
------
log(2)
2log⁡(2)\frac{2}{\log{\left(2 \right)}} 
2/log(2)
Respuesta numérica [src] 
2.88538941666644
2.88538941666644

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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