Integral de sqrt2^lnx/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(\sqrt{2}\right)^{\log{\left(x \right)}}$.

      Luego que $du = \frac{2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2}} \log{\left(\sqrt{2} \right)} dx}{x}$ y ponemos $\frac{2 du}{\log{\left(2 \right)}}$:

      $\int \frac{2}{\log{\left(2 \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1\, du = \frac{2 \int 1\, du}{\log{\left(2 \right)}}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u}{\log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$

   Método #2

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int 2^{\frac{u}{2}}\, du$

      1. que $u = \frac{u}{2}$.

         Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 \cdot 2^{u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2^{u}\, du = 2 \int 2^{u}\, du$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cdot 2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \cdot 2^{\frac{u}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$

   Método #3

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{2^{\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{2}}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2^{\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{2}}}{u}\, du = - \int \frac{2^{\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{2}}}{u}\, du$

         1. que $u = \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{2 u}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- 2 \cdot 2^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2^{u}\, du = - 2 \int 2^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cdot 2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \cdot 2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2^{\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$