Integral de sin(3*x)*exp(2*cos(3*x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{e^{2 \cos{\left(u \right)}} \sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{2 \cos{\left(u \right)}} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int e^{2 \cos{\left(u \right)}} \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. que $u = 2 \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - 2 \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{2 \cos{\left(u \right)}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{2 \cos{\left(u \right)}}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{2 \cos{\left(3 x \right)}}}{6}$

   Método #2

   1. que $u = 2 \cos{\left(3 x \right)}$.

      Luego que $du = - 6 \sin{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

      $\int \left(- \frac{e^{u}}{6}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{2 \cos{\left(3 x \right)}}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{e^{2 \cos{\left(3 x \right)}}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{e^{2 \cos{\left(3 x \right)}}}{6}+ \mathrm{constant}$