Integral de x/(4-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{4 - x} = -1 - \frac{4}{x - 4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4}{x - 4}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

         1. que $u = x - 4$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 4 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(x - 4 \right)}$

      El resultado es: $- x - 4 \log{\left(x - 4 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{4 - x} = - \frac{x}{x - 4}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{x - 4}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x - 4}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{x - 4} = 1 + \frac{4}{x - 4}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4}{x - 4}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

            1. que $u = x - 4$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 4 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x - 4 \right)}$

         El resultado es: $x + 4 \log{\left(x - 4 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- x - 4 \log{\left(x - 4 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- x - 4 \log{\left(x - 4 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x - 4 \log{\left(x - 4 \right)}+ \mathrm{constant}$